A posição de uma partícula movendo-se ao longo do eixo dos x é dada por x=9,75+1,50 t3 onde t é dado em segundos. Tome x em cm. Calcule a velocidade média nos seguintes intervalos de tempo (simétricos em relação a t=3,00 s ): (a) 2,00 s e 4,00 s; (b) 2,50 s a
3,50 s; © 2,75 s a 3,25 s; (d) 2,90 s a 3,10 s; e (e) 2,95 s e 3,05 s. (f) Pode-se mostrar que, para esta partícula, a velocidade instantânea (em cm / s ) é dada por v=4,50 t. Calcule a velocidade instantânea para t=3,00 s. (g) Agora, considere uma partícula movendo-se em MRUV segundo a equação x=9,75+1,50 t2, e determine a velocidade média nos intervalos de tempo 2,00 s e 4,00 s, e (h) 2,50 s m / s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de Física que trata do movimento de uma partícula ao longo do eixo dos . A posição dessa partícula é dada pela equação , onde está em segundos e em centímetros. O conteúdo envolvido aqui é cinemática, especificamente o cálculo de velocidade média e velocidade instantânea. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a velocidade média entre dois instantes de tempo e como determinar a velocidade instantânea a partir da derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade média. A velocidade média entre dois instantes de tempo vmédia = x(t2) - x(t1)t2 - t1 e é calculada pela fórmula:
é
Isso significa que para encontrar a velocidade média, pegamos a diferença nas posições nos dois momentos e dividimos pelo intervalo de tempo entre eles.

Passo 3

Vamos aplicar isso para a parte (a) do exercício, que pede a velocidade média entre x(2) = 9,75 + 1,50 times (2)^3 = 9,75 + 1,50 times 8 = 9,75 + 12 = 21,75 , cm e x(4) = 9,75 + 1,50 times (4)^3 = 9,75 + 1,50 times 64 = 9,75 + 96 = 105,75 , cm .
Primeiro, calculamos as posições nesses tempos:
vmédia = 105,75 - 21,754,00 - 2,00 = 842 = 42 , cm/s
Agora, aplicamos a fórmula da velocidade média:
é

Passo 4

Para a parte (b), queremos a velocidade média entre x(2,5) = 9,75 + 1,50 times (2,5)^3 = 9,75 + 1,50 times 15,625 = 9,75 + 23,4375 = 33,1875 , cm e x(3,5) = 9,75 + 1,50 times (3,5)^3 = 9,75 + 1,50 times 42,875 = 9,75 + 64,3125 = 74,0625 , cm .
Calculando as posições:
vmédia = 74,0625 - 33,18753,50 - 2,50 = 40,8751 = 40,875 , cm/s
Velocidade média:
é

Passo 5

Na parte ©, a velocidade média entre x(2,75) = 9,75 + 1,50 times (2,75)^3 = 9,75 + 1,50 times 20,796875 approx 9,75 + 31,1953125 = 40,9453125 , cm e x(3,25) = 9,75 + 1,50 times (3,25)^3 = 9,75 + 1,50 times 34,328125 approx 9,75 + 51,4921875 = 61,2421875 , cm .
Posições:
vmédia = 61,2421875 - 40,94531253,25 - 2,75 = 20,2968750,5 = 40,59375 , cm/s
Velocidade média:
é

Passo 6

Para a parte (d), entre x(2,90) = 9,75 + 1,50 times (2,90)^3 approx 9,75 + 1,50 times 24,389 = 9,75 + 36,5835 = 46,3335 , cm e x(3,10) = 9,75 + 1,50 times (3,10)^3 approx 9,75 + 1,50 times 29,791 = 9,75 + 44,6865 = 54,4365 , cm .
Posições:
vmédia = 54,4365 - 46,33353,10 - 2,90 = 8,1030,20 = 40,515 , cm/s
Velocidade média:
é

Passo 7

Na parte (e), entre x(2,95) = 9,75 + 1,50 times (2,95)^3 approx 9,75 + 1,50 times 25,671375 = 9,75 + 38,5070625 = 48,2570625 , cm e x(3,05) = 9,75 + 1,50 times (3,05)^3 approx 9,75 + 1,50 times 28,368625 = 9,75 + 42,553 = 52,303 , cm .
Posições:
vmédia = 52,303 - 48,25706253,05 - 2,95 = 4,04593750,10 = 40,459375 , cm/s
Velocidade média:
é

Passo 8

Na parte (f), é dada a velocidade instantânea como v = 4,50 times 3,00 = 13,50 , cm/s . Queremos calcular a velocidade instantânea para .
Substituindo:

Passo 9

Agora, para a parte (g), a equação da posição muda para x(2) = 9,75 + 1,50 times (2)^2 = 9,75 + 1,50 times 4 = 9,75 + 6 = 15,75 , cm , indicando um movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV). Queremos encontrar a velocidade média entre x(4) = 9,75 + 1,50 times (4)^2 = 9,75 + 1,50 times 16 = 9,75 + 24 = 33,75 , cm e vmédia = 33,75 - 15,754,00 - 2,00 = 182 = 9 , cm/s .
Primeiro, as posições:
Velocidade média:
é

Passo 10

Finalmente, na parte (h), queremos a velocidade média entre x(2,5) = 9,75 + 1,50 times (2,5)^2 = 9,75 + 1,50 times 6,25 = 9,75 + 9,375 = 19,125 , cm e x(3,5) = 9,75 + 1,50 times (3,5)^2 = 9,75 + 1,50 times 12,25 = 9,75 + 18,375 = 28,125 , cm para a equação vmédia = 28,125 - 19,1253,50 - 2,50 = 91 = 9 , cm/s .
Calculando as posições:
Velocidade média:
é

Resposta

As velocidades médias e instantâneas calculadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)

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