Qual a posição relativa entre os planos Omega: 5 x+3 y+13 z=1 e Gamma: 4 x-2 y+5 z=20 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para descobrir qual é a posição relativa entre dois planos no espaço tridimensional. Os planos dados são:
  • Plano Ω:
  • Plano Γ:
Para resolver isso, a gente vai precisar entender um pouco sobre vetores normais e como eles determinam a orientação dos planos. Vamos em frente!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a ele e é dado pelos coeficientes de , e na equação do plano.
  • Vetor normal do plano Ω:
  • Vetor normal do plano Γ:

Passo 3

Agora, para saber se os planos são paralelos, coincidentes ou interseccionam, precisamos comparar esses vetores normais.
  • Planos Paralelos: Se os vetores normais são proporcionais, ou seja, um é múltiplo do outro.
  • Planos Coincidentes: Além de serem paralelos, se as constantes das equações (os termos independentes) também estiverem na mesma proporção.
  • Planos Intersectantes: Se os vetores normais não são proporcionais.
Vamos verificar se e são proporcionais.

Passo 4

Para ver se os vetores são proporcionais, comparamos as razões dos componentes correspondentes:
54 = 1.25, 3-2 = -1.5, 135 = 2.6
Como essas razões não são iguais, os vetores normais não são proporcionais. Isso significa que os planos não são paralelos.

Passo 5

Já que os planos não são paralelos, isso implica que eles intersectam em uma linha. Portanto, a posição relativa entre os planos Ω e Γ é que eles se cruzam em uma linha no espaço tridimensional.

Resposta

Os planos Ω e Γ se intersectam, ou seja, eles se cruzam ao longo de uma linha no espaço.

Exercícios relacionados