É possível um conjunto ortogonal de vetores não nulos ser linearmente dependente?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que envolve vetores ortogonais e a ideia de dependência linear. A matéria aqui é Álgebra Linear, e a gente vai precisar entender o que são conjuntos ortogonais e o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre vetores ortogonais. Em Álgebra Linear, dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) deles for zero. Isso basicamente significa que eles estão “perpendiculares” entre si no espaço em que estão.

Passo 3

Agora, sobre dependência linear. Um conjunto de vetores é dito linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde alguns vetores “dependem” dos outros para serem gerados.

Passo 4

Vamos combinar essas ideias. Se temos um conjunto de vetores ortogonais e não nulos, ou seja, nenhum vetor é o vetor zero e todos são perpendiculares entre si, será que eles podem ser linearmente dependentes?

Passo 5

Na verdade, não é possível. Porque, em um conjunto de vetores ortogonais não nulos, nenhum vetor pode ser formado a partir dos outros vetores. A razão disso é que, como são todos perpendiculares, não há “sobreposição” ou “redundância” entre eles. Cada vetor traz uma direção única que não pode ser obtida combinando os outros.

Resposta

Não, um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre linearmente independente.

Exercícios relacionados

Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .
Sejam quatro transformações lineares , , induzidas por matrizes . Repare que é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que e .
Mostre que
e que se , então
Seja um operador linear em induzido pela matriz dada abaixo.
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de sobre o vetor
(b) a representação do vetor x na base
© o resultado da aplicação da transformação linear sobre na base
Sejam
dois espaços vetoriais, e seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se:
  1. O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
  2. As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
  3. Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
  4. Mostre que tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos)
  5. Responda se tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)