É possível um conjunto ortogonal de vetores não nulos ser linearmente dependente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que envolve vetores ortogonais e a ideia de dependência linear. A matéria aqui é Álgebra Linear, e a gente vai precisar entender o que são conjuntos ortogonais e o que significa os vetores serem linearmente dependentes ou independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre vetores ortogonais. Em Álgebra Linear, dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou escalar) deles for zero. Isso basicamente significa que eles estão “perpendiculares” entre si no espaço em que estão.
Passo 3
Agora, sobre dependência linear. Um conjunto de vetores é dito linearmente dependente se pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma relação onde alguns vetores “dependem” dos outros para serem gerados.
Passo 4
Vamos combinar essas ideias. Se temos um conjunto de vetores ortogonais e não nulos, ou seja, nenhum vetor é o vetor zero e todos são perpendiculares entre si, será que eles podem ser linearmente dependentes?
Passo 5
Na verdade, não é possível. Porque, em um conjunto de vetores ortogonais não nulos, nenhum vetor pode ser formado a partir dos outros vetores. A razão disso é que, como são todos perpendiculares, não há “sobreposição” ou “redundância” entre eles. Cada vetor traz uma direção única que não pode ser obtida combinando os outros.
Resposta
Não, um conjunto ortogonal de vetores não nulos é sempre linearmente independente.
Exercícios relacionados
Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Sejam quatro transformações lineares
,
, induzidas por matrizes
. Repare que
é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que
e
.
Mostre que
Mostre que
e que se
, então
Seja
um operador linear em
induzido pela matriz
dada abaixo.
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de sobre o vetor
(b) a representação do vetor x na base
(a) o resultado da aplicação de
(b) a representação do vetor x na base
© o resultado da aplicação da transformação linear
sobre
na base
Sejam
dois espaços vetoriais, e seja
uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se:
- O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
- As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
- Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
- Mostre que
tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos) - Responda se
tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)