Seja um operador linear em induzido pela matriz dada abaixo.
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de sobre o vetor
(b) a representação do vetor x na base
© o resultado da aplicação da transformação linear sobre na base

Passo 1

Nessa questão, estamos lidando com operadores lineares em representados por matrizes. A matriz nos dá a transformação que vamos aplicar a um vetor . Precisamos resolver três partes:
(a) aplicar no vetor ,
(b) representar em uma nova base ,
© aplicar no vetor usando essa nova base.
Para isso, vamos usar multiplicação de matrizes, combinação linear e mudança de base.

Passo 2

Parte (a): Aplicar ao vetor
Temos:
Para aplicar em , fazemos a multiplicação de matrizes:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 3

Parte (b): Representar o vetor na base
A base é:
Queremos expressar como uma combinação linear dos vetores dessa base:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Logo, .
Portanto:

Passo 4

Parte ©: Aplicar no vetor na base
Já sabemos que na base tem coordenadas .
A transformação linear pode ser representada na base usando a matriz de mudança de base, mas uma forma direta é aplicar no vetor já transformado.
Já calculamos .
Para representar isso na base , buscamos coeficientes e tais que:
Montando o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Logo, .
Portanto, na base :

Resposta

(a) O resultado da aplicação de sobre é:
(b) A representação do vetor na base é:
© O resultado da aplicação da transformação linear sobre na base é:

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Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .
Sejam
dois espaços vetoriais, e seja uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se:
  1. O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
  2. As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
  3. Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
  4. Mostre que tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos)
  5. Responda se tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)
Seja um espaço vetorial definido sobre o corpo dos números reais:
Seja uma transformação linear induzida pela seguinte matriz:
(a) Diga se é injetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
(b) Diga se é sobrejetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
© Seja uma base para . Forneça uma outra base para ; (2,0 pontos)
(d) Encontre a matriz que induz a mudança da base para a base pontos)
(e) Diga se existe uma transformação inversa tal que , . (2,0 pontos)