Seja
um operador linear em
induzido pela matriz
dada abaixo.
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de
sobre o vetor
(b) a representação do vetor x na base
© o resultado da aplicação da transformação linear
sobre
na base
(a) o resultado da aplicação de
(b) a representação do vetor x na base
Passo 1
Nessa questão, estamos lidando com operadores lineares em
representados por matrizes. A matriz
nos dá a transformação que vamos aplicar a um vetor
. Precisamos resolver três partes:
(a) aplicar no vetor
,
(b) representar em uma nova base
,
© aplicar no vetor
usando essa nova base.
Para isso, vamos usar multiplicação de matrizes, combinação linear e mudança de base.
(a) aplicar
(b) representar
© aplicar
Para isso, vamos usar multiplicação de matrizes, combinação linear e mudança de base.
Passo 2
Parte (a): Aplicar
ao vetor
Temos:
Para aplicar
em
, fazemos a multiplicação de matrizes:
Calculando cada componente:
Então:
Passo 3
Parte (b): Representar o vetor
na base
A base
é:
Queremos expressar
como uma combinação linear dos vetores dessa base:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, temos
. Substituindo na segunda:
Logo,
.
Portanto:
Passo 4
Parte ©: Aplicar
no vetor
na base
Já sabemos que
na base
tem coordenadas
.
A transformação linear
pode ser representada na base
usando a matriz de mudança de base, mas uma forma direta é aplicar
no vetor já transformado.
Já calculamos
.
Para representar isso na base
, buscamos coeficientes
e
tais que:
Montando o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Logo,
.
Portanto, na base
:
Resposta
(a) O resultado da aplicação de
sobre
é:
(b) A representação do vetor
na base
é:
© O resultado da aplicação da transformação linear
sobre
na base
é:
Exercícios relacionados
É possível um conjunto ortogonal de vetores não nulos ser linearmente dependente?
Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Sejam
dois espaços vetoriais, e seja
uma transformação linear induzida pela matriz
Pede-se:
- O espaço domínio, o espaço contra-domínio, e o espaço imagem da transformação linear T. (2,0 pontos)
- As dimensões dos espaços vetoriais do item acima. (2,0 pontos)
- Uma base para cada espaço vetorial do item 1. (2,0 pontos)
- Mostre que
tem inversa pela esquerda (induz um mapeamento injetivo). (3,0 pontos) - Responda se
tem inversa pela direita, e justifique sua resposta. ( 1,0 ponto)
Seja
um espaço vetorial definido sobre o corpo dos números reais:
Seja uma transformação linear induzida pela seguinte matriz:
Seja
(a) Diga se
é injetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
(b) Diga se é sobrejetiva e justifique sua resposta; (2,0 pontos)
© Seja uma base para
. Forneça uma outra base
para
; (2,0 pontos)
(d) Encontre a matriz que induz a mudança da base para a base
pontos)
(e) Diga se existe uma transformação inversa tal que
,
. (2,0 pontos)
(b) Diga se
© Seja
(d) Encontre a matriz que induz a mudança da base
(e) Diga se existe uma transformação inversa