Seja A: R^2 R^2 um operador linear em R induzido pela matriz A dada abaixo.
A=raiz22[cc 1 & 0 2 & -1 ]
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de A sobre o vetor x=[ll0 & 2]^T
(b) a representação do vetor x na base
B=[c 1 raiz2 ],[c 1 -raiz2 ]
© o resultado da aplicação da transformação linear A sobre x na base B

Passo 1

Nessa questão, estamos lidando com operadores lineares em representados por matrizes. A matriz nos dá a transformação que vamos aplicar a um vetor . Precisamos resolver três partes:
(a) aplicar no vetor ,
(b) representar em uma nova base ,
© aplicar no vetor usando essa nova base.
Para isso, vamos usar multiplicação de matrizes, combinação linear e mudança de base.

Passo 2

Parte (a): Aplicar A = raiz22 1 & 0 2 & -1 , x = 0 2 ao vetor A cdot x = raiz22 1 & 0 2 & -1 0 2
Temos:
Primeira componente &= 1 times 0 + 0 times 2 = 0 Segunda componente &= 2 times 0 + (-1) times 2 = -2
Para aplicar A cdot x = raiz22 0 -2 = 0 -raiz2 em , fazemos a multiplicação de matrizes:
Calculando cada componente:
Então:

Passo 3

Parte (b): Representar o vetor B = 1 raiz2 , 1 -raiz2 na base x = c1 1 raiz2 + c2 1 -raiz2
A base c1 + c2 = 0 c1 raiz2 - c2 raiz2 = 2 é:
c1 raiz2 - (-c1) raiz2 = 2 Rightarrow 2 c1 raiz2 = 2 Rightarrow c1 = 1raiz2
Queremos expressar x = 1raiz2 1 raiz2 - 1raiz2 1 -raiz2 como uma combinação linear dos vetores dessa base:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da primeira equação, temos . Substituindo na segunda:
Logo, .
Portanto:

Passo 4

Parte ©: Aplicar 0 -raiz2 no vetor 0 -raiz2 = d1 1 raiz2 + d2 1 -raiz2 na base d1 + d2 = 0 d1 raiz2 - d2 raiz2 = -raiz2
Já sabemos que d1 raiz2 - (-d1) raiz2 = -raiz2 Rightarrow 2 d1 raiz2 = -raiz2 Rightarrow d1 = -12 na base A cdot x = -12 1 raiz2 + 12 1 -raiz2 tem coordenadas .
A transformação linear pode ser representada na base usando a matriz de mudança de base, mas uma forma direta é aplicar no vetor já transformado.
Já calculamos .
Para representar isso na base , buscamos coeficientes e tais que:
Montando o sistema:
Da primeira equação, . Substituindo na segunda:
Logo, .
Portanto, na base :

Resposta

(a) O resultado da aplicação de A cdot x = 0 -raiz2 sobre x = 1raiz2 1 raiz2 - 1raiz2 1 -raiz2 é:
A cdot x = -12 1 raiz2 + 12 1 -raiz2
(b) A representação do vetor na base é:
© O resultado da aplicação da transformação linear sobre na base é:

Exercícios relacionados