Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos mostrar duas coisas: se aplicarmos o operador a um vetor que está no Núcleo de (ou seja, ), o resultado ainda está no Núcleo de . E também, se aplicarmos a um vetor que está na Imagem de ( ), o resultado permanece na Imagem de . Para resolver isso, vamos usar as definições de núcleo e imagem de um operador linear e algumas propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de , denotado por . O Núcleo de é o conjunto de todos os vetores em tais que . Ou seja,
Agora, queremos provar que se , então . Mas, já que , sabemos que . Precisamos verificar se está no Núcleo de .

Passo 3

Verdade! O vetor zero sempre está no Núcleo de qualquer operador linear. Isso porque, por definição,
Então, . Portanto, se , então . Pronto, a primeira parte está provada!

Passo 4

Agora, vamos para a Imagem de , que é denotada por . A Imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Ou seja,
Queremos mostrar que se , então .

Passo 5

Como , existe algum vetor tal que . Vamos aplicar o operador a :
Aqui, representa a aplicação de duas vezes. Mas o importante é perceber que ainda é do tipo aplicado a algum vetor em , especificamente .

Passo 6

Como , e está em (pois ), então também está em . Portanto, , o que conclui a segunda parte da prova.

Resposta

Assim, provamos que para quaisquer vetores e , temos e .

Exercícios relacionados

Sejam quatro transformações lineares , , induzidas por matrizes . Repare que é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que e .
Mostre que
e que se , então
  1. Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares e .
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.
É possível um conjunto ortogonal de vetores não nulos ser linearmente dependente?
Seja um operador linear em induzido pela matriz dada abaixo.
Pede-se:
(a) o resultado da aplicação de sobre o vetor
(b) a representação do vetor x na base
© o resultado da aplicação da transformação linear sobre na base