Seja
um operador linear. Para quaisquer vetores
e
, prove que se tem
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos mostrar duas coisas: se aplicarmos o operador
a um vetor
que está no Núcleo de
(ou seja,
), o resultado ainda está no Núcleo de
. E também, se aplicarmos
a um vetor
que está na Imagem de
(
), o resultado permanece na Imagem de
. Para resolver isso, vamos usar as definições de núcleo e imagem de um operador linear e algumas propriedades básicas de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de
, denotado por
. O Núcleo de
é o conjunto de todos os vetores
em
tais que
. Ou seja,
Agora, queremos provar que se
, então
. Mas, já que
, sabemos que
. Precisamos verificar se
está no Núcleo de
.
Passo 3
Verdade! O vetor zero sempre está no Núcleo de qualquer operador linear. Isso porque, por definição,
Então,
. Portanto, se
, então
. Pronto, a primeira parte está provada!
Passo 4
Agora, vamos para a Imagem de
, que é denotada por
. A Imagem de
é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como
para algum
. Ou seja,
Queremos mostrar que se
, então
.
Passo 5
Como
, existe algum vetor
tal que
. Vamos aplicar o operador
a
:
Aqui,
representa a aplicação de
duas vezes. Mas o importante é perceber que
ainda é do tipo
aplicado a algum vetor em
, especificamente
.
Passo 6
Como
, e
está em
(pois
), então
também está em
. Portanto,
, o que conclui a segunda parte da prova.
Resposta
Assim, provamos que para quaisquer vetores
e
, temos
e
.