Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos mostrar duas coisas: se aplicarmos o operador a um vetor que está no Núcleo de (ou seja, ), o resultado ainda está no Núcleo de . E também, se aplicarmos a um vetor que está na Imagem de (), o resultado permanece na Imagem de . Para resolver isso, vamos usar as definições de núcleo e imagem de um operador linear e algumas propriedades básicas de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de , denotado por . O Núcleo de é o conjunto de todos os vetores em tais que . Ou seja,
Agora, queremos provar que se , então . Mas, já que , sabemos que . Precisamos verificar se está no Núcleo de .
Passo 3
Verdade! O vetor zero sempre está no Núcleo de qualquer operador linear. Isso porque, por definição,
Então, . Portanto, se , então . Pronto, a primeira parte está provada!
Passo 4
Agora, vamos para a Imagem de , que é denotada por . A Imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Ou seja,
Queremos mostrar que se , então .
Passo 5
Como , existe algum vetor tal que . Vamos aplicar o operador a :
Aqui, representa a aplicação de duas vezes. Mas o importante é perceber que ainda é do tipo aplicado a algum vetor em , especificamente .
Passo 6
Como , e está em (pois ), então também está em . Portanto, , o que conclui a segunda parte da prova.
Resposta
Assim, provamos que para quaisquer vetores e , temos e .