Seja A: E E um operador linear. Para quaisquer vetores u in N(A) e v in Im(A), prove que se tem A u in N(A) e A v in Im(A).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre operadores lineares, que é um tópico de Álgebra Linear. Precisamos mostrar duas coisas: se aplicarmos o operador a um vetor que está no Núcleo de (ou seja, ), o resultado ainda está no Núcleo de . E também, se aplicarmos a um vetor que está na Imagem de ( ), o resultado permanece na Imagem de . Para resolver isso, vamos usar as definições de núcleo e imagem de um operador linear e algumas propriedades básicas de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Núcleo de N(A) = u in E mid A u = 0 , denotado por . O Núcleo de é o conjunto de todos os vetores em tais que . Ou seja,
Agora, queremos provar que se , então . Mas, já que , sabemos que . Precisamos verificar se está no Núcleo de .

Passo 3

Verdade! O vetor zero sempre está no Núcleo de qualquer operador linear. Isso porque, por definição,
A 0 = 0
Então, . Portanto, se , então . Pronto, a primeira parte está provada!

Passo 4

Agora, vamos para a Imagem de Im(A) = A v mid v in E , que é denotada por . A Imagem de é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como para algum . Ou seja,
Queremos mostrar que se , então .

Passo 5

Como A v = A (A w) = A^2 w , existe algum vetor tal que . Vamos aplicar o operador a :
Aqui, representa a aplicação de duas vezes. Mas o importante é perceber que ainda é do tipo aplicado a algum vetor em , especificamente .

Passo 6

Como , e está em (pois ), então também está em . Portanto, , o que conclui a segunda parte da prova.

Resposta

Assim, provamos que para quaisquer vetores e , temos e .

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