Sejam quatro transformações lineares , , induzidas por matrizes . Repare que é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que e .
Mostre que
e que se , então

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformar uma matriz grande que é formada por quatro blocos: , , e . A gente vai usar conceitos de matrizes bloco e inversão de matrizes para mostrar como pode ser decomposta em três matrizes menores e também como encontrar a inversa de , caso ela exista.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que é uma matriz onde:
Aqui, é uma matriz , é um vetor , é um vetor e é um escalar.

Passo 3

A ideia é fatorar em três matrizes. Vamos começar criando a primeira matriz dessa fatoração:
Aqui, é a identidade , é um vetor de zeros , e é o escalar.

Passo 4

Agora, criamos a segunda matriz da fatoração:
Essa matriz ajusta a parte superior esquerda subtraindo de , deixando os outros blocos como zero e .

Passo 5

A terceira matriz da fatoração é:
Novamente, é a identidade, é um vetor nulo e ajusta a parte inferior esquerda.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar essas três matrizes para verificar se realmente obtemos :
Multiplicando passo a passo, vemos que o resultado final é exatamente a matriz .

Passo 7

Agora, vamos achar a inversa de , assumindo que ela existe. Usando a fatoração que fizemos, sabemos que:
Essa fórmula vem da inversão de matrizes bloco, onde a inversa de depende da inversa de e de .

Resposta

Portanto, mostramos que a matriz pode ser decomposta da forma indicada e que, se existir, ela é dada por:

Exercícios relacionados

  1. Seja uma transformação linear induzida pela matriz dada abaixo:
Calcule os espaços imagem das transformações lineares e .
2. Encontre uma base para cada espaço imagem calculado no item acima.
3. Calcule as dimensões dos espaços imagem calculados no item 1 acima.
4. Diga se a transformação linear A tem inversa pela esquerda.
5. Diga se a transformação linear A tem inversa pela direita.
Justifique todas as respostas.
Sejam um espaço vetorial real. Seja um operador linear em , induzido pela matriz
Pede-se
(a) duas bases diferentes para ;
(b) o espaço imagem de ;
© as matrizes que induzem a transformação linear A nas bases escolhidas no item (a) acima;
(d) caso tenha inversa em , sua inversa, em qualquer uma das bases escolhidas;
Seja um operador linear. Para quaisquer vetores e , prove que se tem e .
É possível um conjunto ortogonal de vetores não nulos ser linearmente dependente?