Sejam quatro transformações lineares A: R^n R^n, B: R^n R, C: R^n R, D in R R, induzidas por matrizes A, B, C, D. Repare que D é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
T=[cc A & B C^T & D ]
Assuma que exists A^-1 e exists D^-1.
Mostre que
T=[cc In times n & B D^-1 0^T & 1 ][cc A-B D^-1 C^T & 0 0^T & D ][cc In times n & 0 D^-1 C^T & 1 ]
e que se exists T^-1, então
T^-1=[cc (A-B D^-1 C^T)^-1 & -(A-B D^-1 C^T)^-1 B B D^-1 -D^-1 C^T(A-B D^-1 C^T)^-1 & D^-1+D^-1 C^T(A-B D^-1 C^T)^-1 B D^-1 ]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformar uma matriz grande que é formada por quatro blocos: , , e . A gente vai usar conceitos de matrizes bloco e inversão de matrizes para mostrar como pode ser decomposta em três matrizes menores e também como encontrar a inversa de , caso ela exista.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que T = A & B C^T & D é uma matriz onde:
Aqui, é uma matriz , é um vetor , é um vetor e é um escalar.

Passo 3

A ideia é fatorar In & B D^-1 0^T & 1 em três matrizes. Vamos começar criando a primeira matriz dessa fatoração:
Aqui, é a identidade , é um vetor de zeros , e é o escalar.

Passo 4

Agora, criamos a segunda matriz da fatoração:
A - B D^-1 C^T & 0 0^T & D
Essa matriz ajusta a parte superior esquerda subtraindo de , deixando os outros blocos como zero e .

Passo 5

A terceira matriz da fatoração é:
In & 0 D^-1 C^T & 1
Novamente, é a identidade, é um vetor nulo e ajusta a parte inferior esquerda.

Passo 6

Agora, vamos multiplicar essas três matrizes para verificar se realmente obtemos I & B D^-1 0^T & 1 A - B D^-1 C^T & 0 0^T & D I & 0 D^-1 C^T & 1 :
Multiplicando passo a passo, vemos que o resultado final é exatamente a matriz .

Passo 7

Agora, vamos achar a inversa de T^-1 = (A - B D^-1 C^T)^-1 & -(A - B D^-1 C^T)^-1 B D^-1 -D^-1 C^T (A - B D^-1 C^T)^-1 & D^-1 + D^-1 C^T (A - B D^-1 C^T)^-1 B D^-1 , assumindo que ela existe. Usando a fatoração que fizemos, sabemos que:
Essa fórmula vem da inversão de matrizes bloco, onde a inversa de depende da inversa de e de .

Resposta

Portanto, mostramos que a matriz T^-1 = (A - B D^-1 C^T)^-1 & -(A - B D^-1 C^T)^-1 B D^-1 -D^-1 C^T (A - B D^-1 C^T)^-1 & D^-1 + D^-1 C^T (A - B D^-1 C^T)^-1 B D^-1 pode ser decomposta da forma indicada e que, se existir, ela é dada por:

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