Sejam quatro transformações lineares , , induzidas por matrizes . Repare que é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que e .
Mostre que
e que se , então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformar uma matriz grande que é formada por quatro blocos: , , e . A gente vai usar conceitos de matrizes bloco e inversão de matrizes para mostrar como pode ser decomposta em três matrizes menores e também como encontrar a inversa de , caso ela exista.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que é uma matriz onde:
Aqui, é uma matriz , é um vetor , é um vetor e é um escalar.
Passo 3
A ideia é fatorar em três matrizes. Vamos começar criando a primeira matriz dessa fatoração:
Aqui, é a identidade , é um vetor de zeros , e é o escalar.
Passo 4
Agora, criamos a segunda matriz da fatoração:
Essa matriz ajusta a parte superior esquerda subtraindo de , deixando os outros blocos como zero e .
Passo 5
A terceira matriz da fatoração é:
Novamente, é a identidade, é um vetor nulo e ajusta a parte inferior esquerda.
Passo 6
Agora, vamos multiplicar essas três matrizes para verificar se realmente obtemos :
Multiplicando passo a passo, vemos que o resultado final é exatamente a matriz .
Passo 7
Agora, vamos achar a inversa de , assumindo que ela existe. Usando a fatoração que fizemos, sabemos que:
Essa fórmula vem da inversão de matrizes bloco, onde a inversa de depende da inversa de e de .
Resposta
Portanto, mostramos que a matriz pode ser decomposta da forma indicada e que, se existir, ela é dada por: