Sejam quatro transformações lineares
,
, induzidas por matrizes
. Repare que
é um escalar real. Seja uma transformação linear induzida pela matriz
Assuma que
e
.
Mostre que
e que se
, então
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre transformar uma matriz grande
que é formada por quatro blocos:
,
,
e
. A gente vai usar conceitos de matrizes bloco e inversão de matrizes para mostrar como
pode ser decomposta em três matrizes menores e também como encontrar a inversa de
, caso ela exista.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
é uma matriz
onde:
Aqui,
é uma matriz
,
é um vetor
,
é um vetor
e
é um escalar.
Passo 3
A ideia é fatorar
em três matrizes. Vamos começar criando a primeira matriz dessa fatoração:
Aqui,
é a identidade
,
é um vetor de zeros
, e
é o escalar.
Passo 4
Agora, criamos a segunda matriz da fatoração:
Essa matriz ajusta a parte superior esquerda subtraindo
de
, deixando os outros blocos como zero e
.
Passo 5
A terceira matriz da fatoração é:
Novamente,
é a identidade,
é um vetor nulo e
ajusta a parte inferior esquerda.
Passo 6
Agora, vamos multiplicar essas três matrizes para verificar se realmente obtemos
:
Multiplicando passo a passo, vemos que o resultado final é exatamente a matriz
.
Passo 7
Agora, vamos achar a inversa de
, assumindo que ela existe. Usando a fatoração que fizemos, sabemos que:
Essa fórmula vem da inversão de matrizes bloco, onde a inversa de
depende da inversa de
e de
.
Resposta
Portanto, mostramos que a matriz
pode ser decomposta da forma indicada e que, se
existir, ela é dada por: