Se são vetores de , verifique se são linearmente dependentes ou independentes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se os vetores , e em são linearmente dependentes ou independentes. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de combinação linear e determinantes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os vetores serem linearmente independentes ou dependentes.
Linearmente Independentes: Significa que nenhum vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Em outras palavras, a única maneira de combinar os vetores para obter o vetor zero é se todos os coeficientes forem zero.
Linearmente Dependentes: Significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. Ou seja, existe uma combinação não trivial (com coeficientes diferentes de zero) que resulta no vetor zero.
Passo 3
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for igual a zero, eles são linearmente dependentes.
Vamos montar a matriz:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . O determinante de uma matriz A = a & b & c d & e & f g & h & i é calculado assim:
a = 1, b = 2, c = -3 d = 3, e = -1, f = 2 g = 5, h = 3, i = -4