Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo: tal que .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar exemplos de transformações lineares que têm como núcleo apenas o vetor zero, ou seja, . Isso está ligado ao conceito de injetividade em transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como determinar se ele é apenas o vetor zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, pega vetores em e os transforma em outros vetores também em .
Passo 3
O núcleo de uma transformação linear, , é o conjunto de todos os vetores em que transforma no vetor zero. Ou seja:
Quando , isso significa que a única solução para é , indicando que é injetiva.
Passo 4
Agora, vamos criar um exemplo concreto. Uma maneira fácil de garantir que é usar uma matriz que é invertível (ou seja, tem determinante diferente de zero). Por exemplo, consideremos a matriz identidade:
[
T(\mathbf{x}) = I \cdot \mathbf{x} =
]
Essa transformação simplesmente deixa o vetor inalterado.
Passo 5
Vamos verificar o núcleo dessa transformação:
[
T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \Rightarrow
]
A única solução é , ou seja, . Portanto, essa transformação linear satisfaz o que o enunciado pede.
Passo 6
Vamos criar mais um exemplo para reforçar. Considere a transformação linear definida pela seguinte matriz:
Para garantir que , precisamos que o determinante dessa matriz seja diferente de zero. Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, .
Resposta
Dois exemplos de transformações lineares que satisfazem são:
A transformação identidade:
Uma transformação definida por uma matriz invertível, por exemplo:
Ambas garantem que o núcleo seja apenas o vetor zero.