Quando possível, exiba exemplos de transformações lineares satisfazendo:
T: R^3 R^3 tal que N(T)=(0,0,0).

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar exemplos de transformações lineares que têm como núcleo apenas o vetor zero, ou seja, . Isso está ligado ao conceito de injetividade em transformações lineares. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é núcleo de uma transformação linear e como determinar se ele é apenas o vetor zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Basicamente, é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, pega vetores em e os transforma em outros vetores também em .

Passo 3

O núcleo de uma transformação linear, N(T) = v in R^3 mid T(v) = 0 , é o conjunto de todos os vetores em que transforma no vetor zero. Ou seja:
Quando , isso significa que a única solução para é , indicando que é injetiva.

Passo 4

Agora, vamos criar um exemplo concreto. Uma maneira fácil de garantir que T(x) = I cdot x = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 x1 x2 x3 = x1 x2 x3 é usar uma matriz que é invertível (ou seja, tem determinante diferente de zero). Por exemplo, consideremos a matriz identidade:
[
T(\mathbf{x}) = I \cdot \mathbf{x} =


]
Essa transformação simplesmente deixa o vetor inalterado.

Passo 5

Vamos verificar o núcleo dessa transformação:
[
T(\mathbf{x}) = \mathbf{0} \Rightarrow
T(x) = 0 Rightarrow x1 x2 x3 = 0 0 0


]
A única solução é , ou seja, . Portanto, essa transformação linear satisfaz o que o enunciado pede.

Passo 6

Vamos criar mais um exemplo para reforçar. Considere a transformação linear definida pela seguinte matriz:
T(x) = 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4 5 & 2 & 6 x1 x2 x3
Para garantir que det(T) = 2(1 cdot 6 - 4 cdot 2) - 1(0 cdot 6 - 4 cdot 5) + 3(0 cdot 2 - 1 cdot 5) = 2(6 - 8) - 1(0 - 20) + 3(0 - 5) = 2(-2) - 1(-20) + 3(-5) = -4 + 20 - 15 = 1 neq 0 , precisamos que o determinante dessa matriz seja diferente de zero. Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível e, portanto, .

Resposta

Dois exemplos de transformações lineares que satisfazem T(x) = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 x são:
  1. A transformação identidade:
T(x) = 2 & 1 & 3 0 & 1 & 4 5 & 2 & 6 x
  1. Uma transformação definida por uma matriz invertível, por exemplo:
Ambas garantem que o núcleo seja apenas o vetor zero.

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