Seja Mostre que $\frac{\partial f}{\partial y}= \begin{cases}\frac{x^{5}-4 x^{3} y^{2}-x y{4}}{\left(x{2}+y{2}\right){2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end…

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos trabalhando com a função definida por:
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de em relação a , denotada por , e mostrar que ela é dada por:
Para resolver esse exercício, precisaremos aplicar a regra do quociente para derivadas parciais e verificar o comportamento da função no ponto .

Passo 2

Cálculo da Derivada Parcial para
Quando , a função é dada por uma fração. Para calcular a derivada parcial em relação a , utilizamos a Regra do Quociente, que para uma função da forma diz que:
Aplicando isso à nossa função:
  • Numerador (u):
  • Denominador (v):
Vamos calcular e :
Agora, aplicando a Regra do Quociente:

Passo 3

Simplificação da Expressão Obtida
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandimos os termos:
E,
Subtraindo o segundo termo do primeiro:
Portanto, a derivada parcial simplificada é:

Passo 4

Cálculo da Derivada Parcial no Ponto
No ponto , a função está definida como .
Para encontrar , usamos a definição da derivada parcial:
Calculando :
Portanto:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

É possível existir uma função cujas derivadas parciais são e , e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas?
Seja Mostre que e são contínuas em .
Encontre as derivadas parciais indicadas: ?
Considere . Calcule , sabendo que e .