Seja
Mostre que $\frac{\partial f}{\partial y}= \begin{cases}\frac{x^{5}-4 x^{3} y^{2}-x y{4}}{\left(x{2}+y{2}\right){2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end…
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Envolvidos
Estamos trabalhando com a função
definida por:
Nosso objetivo é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
, e mostrar que ela é dada por:
Para resolver esse exercício, precisaremos aplicar a regra do quociente para derivadas parciais e verificar o comportamento da função no ponto
.
Passo 2
Cálculo da Derivada Parcial
para
Quando
, a função
é dada por uma fração. Para calcular a derivada parcial em relação a
, utilizamos a Regra do Quociente, que para uma função da forma
diz que:
Aplicando isso à nossa função:
- Numerador (u):
- Denominador (v):
Vamos calcular
e
:
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Passo 3
Simplificação da Expressão Obtida
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
Primeiro, expandimos os termos:
E,
Subtraindo o segundo termo do primeiro:
Portanto, a derivada parcial simplificada é:
Passo 4
Cálculo da Derivada Parcial
no Ponto
No ponto
, a função
está definida como
.
Para encontrar
, usamos a definição da derivada parcial:
Calculando
:
Portanto:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
É possível existir uma função
cujas derivadas parciais são
e
, e cujas derivadas parciais de segunda ordem são contínuas?
Seja
Mostre que
e
são contínuas em
.
Encontre as derivadas parciais indicadas:
?
Considere
. Calcule
, sabendo que
e
.