É possível que um múon seja capturado por um próton formando um átomo muônico. Um múon é idêntico a um elétron exceto por sua massa, que é de . Calcule o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico e o módulo de sua energia. Qual é, na série de Lyman desse átomo, o comprimento de onda mais longo?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre átomos muônicos, que são formados quando um múon é capturado por um próton. O múon é parecido com um elétron, mas muito mais pesado, com uma massa de . Vamos calcular o raio da primeira órbita de Bohr deste átomo muônico, o módulo de sua energia e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman. Para isso, vamos usar as fórmulas do modelo de Bohr para átomos, adaptadas para a massa do múon.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do raio de Bohr para um átomo:
Onde:
  • é o número quântico principal (n=1 para a primeira órbita),
  • é a carga do núcleo (para um próton, Z=1),
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a constante eletrostática,
  • é a carga do elétron,
  • é a massa reduzida do sistema múon-próton.

Passo 3

A massa reduzida é calculada por:
Onde:
  • é a massa do próton ( ),
  • é a massa do múon ( ).

Passo 4

Vamos calcular a massa reduzida:

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do raio de Bohr para e :
Sabemos que:

Passo 6

Substituindo os valores:
Isso parece muito pequeno, mas na verdade devemos ajustar as unidades corretamente. A fórmula correta em unidades naturais nos dá:

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo da energia da primeira órbita de Bohr, que é dada por:
Para e :
Convertendo para elétron-volts:

Passo 8

Por fim, vamos determinar o comprimento de onda mais longo na série de Lyman. A série de Lyman corresponde a transições para o nível . O comprimento de onda pode ser calculado usando a fórmula de Rydberg:
Para o comprimento de onda mais longo, consideramos a transição de para :
Onde é a constante de Rydberg ajustada para o átomo muônico.

Passo 9

A constante de Rydberg para o átomo muônico é:
Onde:
  • ,
  • é a massa do elétron ( ).
Calculando:

Passo 10

Agora, o comprimento de onda mais longo é:

Resposta

O raio da primeira órbita de Bohr do átomo muônico é aproximadamente , o módulo da sua energia é cerca de e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere o átomo de lítio duplamente ionizado, , que tem número atômico .
Se o elétron neste átomo estiver no nível de energia e realizar uma transição para o nível , qual seria o valor aproximado da energia do fóton emitido? Considere que a energia cinética inicial e final do átomo como um todo podem ser desprezadas no processo de transição.
Uma superfície de um certo material metálico começa a emitir elétrons via efeito fotoelétrico quando a radiação incidente tem frequência .
Determine a função trabalho do material, isto é, a energia mínima de um fóton que incide na superfície metálica para que um elétron seja ejetado.
Utilizando a expressão de Bohr para os níveis de energia de um átomo , esboce o diagrama de níveis de energia do hidrogênio. Mostre esquematicamente as possíveis transições entre os 6 primeiros níveis e a energia de ionização. Relacione o comprimento de onda do fóton emitido por cada transição possível com a sua região do espectro eletromagnético.
Uma lâmina de vidro, com índice de refração de 1,5, está submersa na água, com um índice de refração de 1,33. Um feixe de luz, na água, incide sobre o vidro. Achar o ângulo de refração se o ângulo de incidência do feixe for .