É possível que um múon seja capturado por um próton formando um átomo muônico. Um múon é idêntico a um elétron exceto por sua massa, que é de 105,7 MeV / c^2. Calcule o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico e o módulo de sua energia. Qual é, na série de Lyman desse átomo, o comprimento de onda mais longo?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre átomos muônicos, que são formados quando um múon é capturado por um próton. O múon é parecido com um elétron, mas muito mais pesado, com uma massa de . Vamos calcular o raio da primeira órbita de Bohr deste átomo muônico, o módulo de sua energia e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman. Para isso, vamos usar as fórmulas do modelo de Bohr para átomos, adaptadas para a massa do múon.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do raio de Bohr para um átomo:
rn = n^2 hbar^2Z k e^2 mu
Onde:
  • é o número quântico principal (n=1 para a primeira órbita),
  • é a carga do núcleo (para um próton, Z=1),
  • é a constante de Planck reduzida,
  • é a constante eletrostática,
  • é a carga do elétron,
  • é a massa reduzida do sistema múon-próton.

Passo 3

A massa reduzida mu = mp mmump + mmu é calculada por:
Onde:
  • é a massa do próton ( ),
  • é a massa do múon ( ).

Passo 4

Vamos calcular a massa reduzida:
mu = 938,27 times 105,7938,27 + 105,7 approx 992531043,97 approx 95,2 , MeV/c^2

Passo 5

Agora, substituímos os valores na fórmula do raio de Bohr para r1 = 1^2 hbar^21 times k e^2 times 95,2 , MeV/c^2 e hbar approx 6,582 times 10^-22 , MeV cdot s :
k e^2 approx 1,44 , MeV cdot fm
Sabemos que:

Passo 6

Substituindo os valores:
r1 = (6,582 times 10^-22)^21,44 times 95,2 approx 4,333 times 10^-43136,7 approx 3,17 times 10^-45 , m
Isso parece muito pequeno, mas na verdade devemos ajustar as unidades corretamente. A fórmula correta em unidades naturais nos dá:
r1 approx hbark e^2 mu approx 197,3 , MeV cdot fm1,44 times 95,2 approx 197,3137,0 approx 1,44 , fm

Passo 7

Agora, vamos calcular o módulo da energia da primeira órbita de Bohr, que é dada por:
En = -Z^2 k^2 e^4 mu2 hbar^2 n^2
Para E1 = -1^2 times (1,44)^2 times 95,22 times (197,3)^2 approx -3,30 times 95,22 times 38922 approx -314,1677844 approx -0,004 , MeV e E1 approx -4 , keV :
Convertendo para elétron-volts:

Passo 8

Por fim, vamos determinar o comprimento de onda mais longo na série de Lyman. A série de Lyman corresponde a transições para o nível 1lambda = R Z^2 (1^2 - n'^2) . O comprimento de onda pode ser calculado usando a fórmula de Rydberg:
1lambda = R times 1^2 (1 - 12^2) = R (1 - 14) = 3R4
Para o comprimento de onda mais longo, consideramos a transição de para :
Onde é a constante de Rydberg ajustada para o átomo muônico.

Passo 9

A constante de Rydberg para o átomo muônico é:
Rmu = Rinfty mume
Onde:
  • Rmu = 1,097 times 10^7 times 95,20,511 approx 1,097 times 10^7 times 186,3 approx 2,046 times 10^9 , m^-1 ,
  • é a massa do elétron ( ).
Calculando:

Passo 10

Agora, o comprimento de onda mais longo é:
lambda = 43 Rmu approx 43 times 2,046 times 10^9 approx 46,138 times 10^9 approx 6,52 times 10^-10 , m approx 652 , pm

Resposta

O raio da primeira órbita de Bohr do átomo muônico é aproximadamente , o módulo da sua energia é cerca de e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman é aproximadamente .

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