É possível que um múon seja capturado por um próton formando um átomo muônico. Um múon é idêntico a um elétron exceto por sua massa, que é de
. Calcule o raio da primeira órbita de Bohr para o átomo muônico e o módulo de sua energia. Qual é, na série de Lyman desse átomo, o comprimento de onda mais longo?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre átomos muônicos, que são formados quando um múon é capturado por um próton. O múon é parecido com um elétron, mas muito mais pesado, com uma massa de
. Vamos calcular o raio da primeira órbita de Bohr deste átomo muônico, o módulo de sua energia e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman. Para isso, vamos usar as fórmulas do modelo de Bohr para átomos, adaptadas para a massa do múon.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do raio de Bohr para um átomo:
Onde:
-
é o número quântico principal (n=1 para a primeira órbita), -
é a carga do núcleo (para um próton, Z=1), -
é a constante de Planck reduzida, -
é a constante eletrostática, -
é a carga do elétron, -
é a massa reduzida do sistema múon-próton.
Passo 3
A massa reduzida
é calculada por:
Onde:
-
é a massa do próton ( ), -
é a massa do múon ( ).
Passo 4
Vamos calcular a massa reduzida:
Passo 5
Agora, substituímos os valores na fórmula do raio de Bohr para
e
:
Sabemos que:
Passo 6
Substituindo os valores:
Isso parece muito pequeno, mas na verdade devemos ajustar as unidades corretamente. A fórmula correta em unidades naturais nos dá:
Passo 7
Agora, vamos calcular o módulo da energia da primeira órbita de Bohr, que é dada por:
Para
e
:
Convertendo para elétron-volts:
Passo 8
Por fim, vamos determinar o comprimento de onda mais longo na série de Lyman. A série de Lyman corresponde a transições para o nível
. O comprimento de onda pode ser calculado usando a fórmula de Rydberg:
Para o comprimento de onda mais longo, consideramos a transição de
para
:
Onde
é a constante de Rydberg ajustada para o átomo muônico.
Passo 9
A constante de Rydberg para o átomo muônico é:
Onde:
-
, -
é a massa do elétron ( ).
Calculando:
Passo 10
Agora, o comprimento de onda mais longo é:
Resposta
O raio da primeira órbita de Bohr do átomo muônico é aproximadamente
, o módulo da sua energia é cerca de
e o comprimento de onda mais longo na série de Lyman é aproximadamente
.