Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em u=(x1, y1) e v=(x2, y2) por
u+v & =(x1+x2+1, y1+y2+1) lambda u & =(lambda x1, lambda y1)
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto u + v = (x1 + x2 + 1, y1 + y2 + 1) que é formado por todos os pares ordenados de números reais, tipo lambda u = (lambda x1, lambda y1) . As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de um jeitinho diferente:
A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. O exercício pede para a gente encontrar dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos com essas operações. Pra isso, vamos precisar revisar os axiomas de espaço vetorial e ver quais deles não estão sendo cumpridos por essas definições de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um axioma de espaço vetorial. São regras básicas que definem como as operações de adição e multiplicação por escalar devem funcionar para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Existem oito axiomas no total.
Vamos analisar o primeiro axioma: Existência do elemento neutro para a adição. Esse axioma diz que deve existir um vetor zero u + 0 = (x1 + 0x + 1, y1 + 0y + 1) = (x1 +1, y1 +1) tal que, para qualquer vetor , .
Com a definição dada:
Isso deveria ser igual a , mas a gente vê que está a mais 1 em cada coordenada. Logo, não tem um vetor zero que satisfaz isso. Então, o primeiro axioma não é válido.

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo axioma: Existência de elementos inversos. Esse diz que para cada vetor u + (-u) = (x1 + (-x1) +1, y1 + (-y1) +1) = (1, 1) , deve existir um vetor tal que .
Mas, se o vetor zero não existe conforme vimos, não dá pra ter esse inverso. Além disso, olhando para a definição de adição:
Isso nunca dá , então os inversos também não existem de verdade. Isso já mostra que mais axiomas não estão sendo cumpridos, mas vamos focar em dois.

Passo 4

Outro axioma importante é a Comutatividade da adição: para quaisquer vetores u + v = (x1 + x2 +1, y1 + y2 +1) e v + u = (x2 + x1 +1, y2 + y1 +1) , .
Vamos testar isso com nossas definições:
Matematicamente, isso parece ok porque a soma de números reais é comutativa. Então esse axioma é válido. Precisamos buscar outros que não funcionam.

Passo 5

Vamos olhar para o Associatividade da adição: para quaisquer (u + v) + w = [(x1 + x2 +1) + x3 +1, (y1 + y2 +1) + y3 +1] = (x1 + x2 + x3 +2, y1 + y2 + y3 +2) em u + (v + w) = [x1 + (x2 + x3 +1) +1, y1 + (y2 + y3 +1) +1] = (x1 + x2 + x3 +2, y1 + y2 + y3 +2) , .
Vamos calcular os dois lados:
Aqui, os dois lados são iguais, então a associatividade está funcionando. Precisamos de mais um axioma que não esteja válido.

Passo 6

Vamos verificar a Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: lambda (u + v) = lambda (x1 + x2 +1, y1 + y2 +1) = (lambda (x1 + x2 +1), lambda (y1 + y2 +1)) .
Vamos calcular os dois lados:
lambda u + lambda v = (lambda x1 + lambda x2 +1, lambda y1 + lambda y2 +1)
Observamos que não é igual a , a menos que , o que nem sempre é o caso. Então, esse axioma também não é válido.

Resposta

Os dois axiomas que não são válidos são:
  1. Existência do elemento neutro para a adição: Não existe um vetor zero que satisfaça .
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: A igualdade não se mantém.

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