Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto
que é formado por todos os pares ordenados de números reais, tipo
. As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de um jeitinho diferente:
A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. O exercício pede para a gente encontrar dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos com essas operações. Pra isso, vamos precisar revisar os axiomas de espaço vetorial e ver quais deles não estão sendo cumpridos por essas definições de soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um axioma de espaço vetorial. São regras básicas que definem como as operações de adição e multiplicação por escalar devem funcionar para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Existem oito axiomas no total.
Vamos analisar o primeiro axioma: Existência do elemento neutro para a adição. Esse axioma diz que deve existir um vetor zero
tal que, para qualquer vetor
,
.
Com a definição dada:
Isso deveria ser igual a
, mas a gente vê que está a mais 1 em cada coordenada. Logo, não tem um vetor zero que satisfaz isso. Então, o primeiro axioma não é válido.
Passo 3
Agora, vamos verificar o segundo axioma: Existência de elementos inversos. Esse diz que para cada vetor
, deve existir um vetor
tal que
.
Mas, se o vetor zero não existe conforme vimos, não dá pra ter esse inverso. Além disso, olhando para a definição de adição:
Isso nunca dá
, então os inversos também não existem de verdade. Isso já mostra que mais axiomas não estão sendo cumpridos, mas vamos focar em dois.
Passo 4
Outro axioma importante é a Comutatividade da adição: para quaisquer vetores
e
,
.
Vamos testar isso com nossas definições:
Matematicamente, isso parece ok porque a soma de números reais é comutativa. Então esse axioma é válido. Precisamos buscar outros que não funcionam.
Passo 5
Vamos olhar para o Associatividade da adição: para quaisquer
em
,
.
Vamos calcular os dois lados:
Aqui, os dois lados são iguais, então a associatividade está funcionando. Precisamos de mais um axioma que não esteja válido.
Passo 6
Vamos verificar a Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores:
.
Vamos calcular os dois lados:
Observamos que
não é igual a
, a menos que
, o que nem sempre é o caso. Então, esse axioma também não é válido.
Resposta
Os dois axiomas que não são válidos são:
-
Existência do elemento neutro para a adição: Não existe um vetor zero que satisfaça
. -
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: A igualdade
não se mantém.
Exercícios relacionados
Seja
definida por
,
em que
e
. Ache
.
Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
b.
b.
Se possível, resolva a equação matricial:
, onde
é uma coluna
e:
(a) e
(b) e
(a)
(b)
Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
e.
e.