Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto que é formado por todos os pares ordenados de números reais, tipo . As operações de adição e multiplicação por escalar estão definidas de um jeitinho diferente:
A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente sobre espaços vetoriais. O exercício pede para a gente encontrar dois axiomas de espaço vetorial que não são válidos com essas operações. Pra isso, vamos precisar revisar os axiomas de espaço vetorial e ver quais deles não estão sendo cumpridos por essas definições de soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um axioma de espaço vetorial. São regras básicas que definem como as operações de adição e multiplicação por escalar devem funcionar para que um conjunto seja considerado um espaço vetorial. Existem oito axiomas no total.
Vamos analisar o primeiro axioma: Existência do elemento neutro para a adição. Esse axioma diz que deve existir um vetor zero tal que, para qualquer vetor , .
Com a definição dada:
Isso deveria ser igual a , mas a gente vê que está a mais 1 em cada coordenada. Logo, não tem um vetor zero que satisfaz isso. Então, o primeiro axioma não é válido.

Passo 3

Agora, vamos verificar o segundo axioma: Existência de elementos inversos. Esse diz que para cada vetor , deve existir um vetor tal que .
Mas, se o vetor zero não existe conforme vimos, não dá pra ter esse inverso. Além disso, olhando para a definição de adição:
Isso nunca dá , então os inversos também não existem de verdade. Isso já mostra que mais axiomas não estão sendo cumpridos, mas vamos focar em dois.

Passo 4

Outro axioma importante é a Comutatividade da adição: para quaisquer vetores e , .
Vamos testar isso com nossas definições:
Matematicamente, isso parece ok porque a soma de números reais é comutativa. Então esse axioma é válido. Precisamos buscar outros que não funcionam.

Passo 5

Vamos olhar para o Associatividade da adição: para quaisquer em , .
Vamos calcular os dois lados:
Aqui, os dois lados são iguais, então a associatividade está funcionando. Precisamos de mais um axioma que não esteja válido.

Passo 6

Vamos verificar a Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: .
Vamos calcular os dois lados:
Observamos que não é igual a , a menos que , o que nem sempre é o caso. Então, esse axioma também não é válido.

Resposta

Os dois axiomas que não são válidos são:
  1. Existência do elemento neutro para a adição: Não existe um vetor zero que satisfaça .
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores: A igualdade não se mantém.

Exercícios relacionados

Seja definida por , em que e . Ache .
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
b.
Se possível, resolva a equação matricial: , onde é uma coluna e:
(a) e
(b) e
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
e.