Seja
definida por
,
em que
e
. Ache
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que você me passou é um exercício de Álgebra Linear que envolve transformações lineares e mudança de base. A gente vai precisar entender como representar a transformação linear
em relação às bases dadas
e
. Basicamente, vamos encontrar a matriz que representa
quando mudamos de uma base para outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear
é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação é dada por:
E as bases são:
Nosso objetivo é encontrar a matriz de
na base
para a base
, ou seja,
.
Passo 3
Para encontrar
, precisamos seguir alguns passos:
-
Aplicar
aos vetores da base : -
Expressar essas imagens em termos da base
. Isso significa encontrar os coordenadas de cada em . Supomos que cada pode ser escrito como combinação linear dos vetores de : Então, para cada, resolvemos o sistema: Vamos resolver para cada: -
Para
: Resolvendo, encontramose . -
Para
: Resolvendo, encontramose . -
Para
: Resolvendo, encontramose .
-
Passo 4
Agora, com as coordenadas encontradas, montamos a matriz
colocando os pares
como colunas:
Resposta
A matriz da transformação
na base
para a base
é:
Exercícios relacionados
Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
b.
b.
Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
c.
c.
Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em
e
por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.
Se possível, resolva a equação matricial:
, onde
é uma coluna
e:
(a) e
(b) e
(a)
(b)