Seja definida por , em que e . Ache .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me passou é um exercício de Álgebra Linear que envolve transformações lineares e mudança de base. A gente vai precisar entender como representar a transformação linear em relação às bases dadas e . Basicamente, vamos encontrar a matriz que representa quando mudamos de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação é dada por:
E as bases são:
Nosso objetivo é encontrar a matriz de na base para a base , ou seja, .

Passo 3

Para encontrar , precisamos seguir alguns passos:
  1. Aplicar aos vetores da base :
  2. Expressar essas imagens em termos da base . Isso significa encontrar os coordenadas de cada em . Supomos que cada pode ser escrito como combinação linear dos vetores de :
    Então, para cada , resolvemos o sistema:
    Vamos resolver para cada :
    • Para :
      Resolvendo, encontramos e .
    • Para :
      Resolvendo, encontramos e .
    • Para :
      Resolvendo, encontramos e .

Passo 4

Agora, com as coordenadas encontradas, montamos a matriz colocando os pares como colunas:

Resposta

A matriz da transformação na base para a base é:

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Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
b.
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
c.
Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
e) Encontre dois axiomas de espaço vetorial que não seja válidos.
Se possível, resolva a equação matricial: , onde é uma coluna e:
(a) e
(b) e