Seja T:(R^3, beta1) longrightarrow(R^2, beta2) definida por T(x, y, z)=(2 x+y-z, 3 x-2 y+4 z) em que beta1=(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0) e beta2=(1,3),(1,4). Ache [T]beta2^beta1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que você me passou é um exercício de Álgebra Linear que envolve transformações lineares e mudança de base. A gente vai precisar entender como representar a transformação linear em relação às bases dadas e . Basicamente, vamos encontrar a matriz que representa quando mudamos de uma base para outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear T(x, y, z) = (2x + y - z, 3x - 2y + 4z) é uma função que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No nosso caso, a transformação é dada por:
beta1 = v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0), v3 = (1,0,0)
E as bases são:
beta2 = w1 = (1,3), w2 = (1,4)
Nosso objetivo é encontrar a matriz de na base para a base , ou seja, .

Passo 3

Para encontrar T(v1) = T(1,1,1) = (2(1) + 1 - 1, 3(1) - 2(1) + 4(1)) = (2, 5) , precisamos seguir alguns passos:
  1. Aplicar T(v2) = T(1,1,0) = (2(1) + 1 - 0, 3(1) - 2(1) + 4(0)) = (3, 1) aos vetores da base T(v3) = T(1,0,0) = (2(1) + 0 - 0, 3(1) - 2(0) + 4(0)) = (2, 3) :
    T(vi) = ai w1 + bi w2
    ai + bi = primeira coordenada de T(vi) 3ai + 4bi = segunda coordenada de T(vi)
    a1 + b1 = 2 3a1 + 4b1 = 5
  2. Expressar essas imagens em termos da base a2 + b2 = 3 3a2 + 4b2 = 1 . Isso significa encontrar os coordenadas de cada a3 + b3 = 2 3a3 + 4b3 = 3 em . Supomos que cada pode ser escrito como combinação linear dos vetores de :
    Então, para cada , resolvemos o sistema:
    Vamos resolver para cada :
    • Para :
      Resolvendo, encontramos e .
    • Para :
      Resolvendo, encontramos e .
    • Para :
      Resolvendo, encontramos e .

Passo 4

Agora, com as coordenadas encontradas, montamos a matriz [T]beta2^beta1 = 3 & 7 & 5 -1 & -4 & -3 colocando os pares como colunas:

Resposta

A matriz da transformação [T]beta2^beta1 = 3 & 7 & 5 -1 & -4 & -3 na base para a base é:

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