Resolva a equação exata

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você enviou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são um tipo específico de equação onde existe uma função potencial cuja derivada parcial em relação a e corresponde aos termos da equação. Para resolver, precisamos identificar essas funções e integrar adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a nossa equação:

Passo 3

Para verificar se a equação é realmente exata, precisamos checar se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a . Ou seja, verificar se:
Calculando:
Como as duas derivadas são iguais ( ), a equação é exata e podemos prosseguir.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integramos em relação a :
Aqui, é uma função arbitrária de que aparece porque a integral em relação a pode ter uma constante que depende apenas de .

Passo 5

Para determinar , usamos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :

Resposta

A solução geral da equação diferencial exata é:

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