Resolva a equação exata
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial exata que você enviou:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais exatas, que são um tipo específico de equação onde existe uma função potencial cuja derivada parcial em relação a
e
corresponde aos termos da equação. Para resolver, precisamos identificar essas funções e integrar adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial exata, que é:
Comparando com a nossa equação:
Passo 3
Para verificar se a equação é realmente exata, precisamos checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, verificar se:
Calculando:
Como as duas derivadas são iguais (
), a equação é exata e podemos prosseguir.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que aparece porque a integral em relação a
pode ter uma constante que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial exata é:
Exercícios relacionados
Utilizando o teste da comparação ou comparação no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
h)
h)
Se possível, resolver as seguintes EDO(b)
Encontre a linearização de
em
.
Se possível, resolver as seguintes EDO(f)