A potência instantânea P(x, t) não é algo tão útil quanto o valor médio da potência durante um período tau. O nome dado ao valor médio da potência é Intensidade, definida matematicamente por
I=lang<= P(x, t)rang<==1tau integral0^tau P(x, t) d t
Com essa definição calcule a intensidade da onda na corda, sabendo que o período é tau=2 piomega e
P(x, t)=rho v omega^2 A^2 sin ^2(k x-omega t+de

Passo 1

Beleza, vamos entender de o que se trata o problema. A gente tem que calcular a intensidade de uma onda em uma corda. A intensidade é o valor médio da potência instantânea durante um período I = lang<= P(x, t)rang<= = 1tau integral0^tau P(x, t) , dt . Para isso, vamos precisar usar a fórmula da intensidade:
P(x, t) = rho v omega^2 A^2 sin^2(k x - omega t + de
O período da onda é dado por . Além disso, a potência instantânea está definida por:
Vamos calcular a intensidade usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de tau = 2piomega na fórmula da intensidade. Sabemos que:
I = 12piomega integral0^2piomega rho v omega^2 A^2 sin^2(k x - omega t + de
Então, a fórmula da intensidade fica:

Passo 3

Vamos simplificar a fração na frente da integral. Dividir por I = omega2pi cdot rho v omega^2 A^2 integral0^2piomega sin^2(k x - omega t + de é o mesmo que multiplicar por . Portanto:

Passo 4

Agora, vamos focar na integral:
integral0^2piomega sin^2(k x - omega t + de
Sabemos que a média de integral0^2piomega sin^2(k x - omega t + de ao longo de um período completo é . Isso simplifica nossa integral:

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão da intensidade:
I = omega2pi cdot rho v omega^2 A^2 cdot piomega
Vamos simplificar os termos:
  • I = 12 rho v omega^2 A^2
Portanto:

Resposta

A intensidade da onda na corda é:
I = 12 rho v omega^2 A^2

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