Questão: Uma carga positiva
é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo
desde
até
. Uma carga puntiforme negativa
está sobre a parte positiva do eixo
, a uma distância
da origem. (a) Determine os componentes
e
do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas
nos pontos da parte positiva do eixo
. (b) Encontre os componentes
e
da força que a distribuição de cargas
exerce sobre a carga
. © Mostre que, para os pontos
e
. Explique o motivo desse resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga positiva
distribuída de forma uniforme ao longo da parte positiva do eixo
, de
até
. Além disso, temos uma carga puntiforme negativa
localizada no eixo
, a uma distância
da origem. A gente vai trabalhar com conceitos de Campo Elétrico e Força Elétrica da Eletrostática. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, integração para distribuir as cargas e decomposição de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico
criado por uma carga é uma região ao redor dessa carga onde outra carga sente uma força. No nosso caso, a carga
está distribuída ao longo do eixo
, então precisamos calcular o campo elétrico resultante dessa distribuição em um ponto no eixo
.
Passo 3
Vamos começar determinando a expressão do campo elétrico diferencial
devido a um elemento infinitesimal de carga
na distribuição. A posição desse elemento está no eixo
, então
, onde
é a densidade linear de carga.
Passo 4
A distância entre o elemento
no ponto
e o ponto onde queremos calcular o campo, no eixo
, é
. Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico diferencial é:
onde
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 5
Vamos decompor
em componentes
e
. Observando a simetria, o componente
se cancela para cada elemento, então restará apenas o componente
:
Passo 6
Para obter o campo elétrico total
, integramos
de
a
:
Substituindo
:
Passo 7
Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Como
se anula pela simetria, o campo elétrico total na direção
é zero:
Passo 9
Agora, para a parte (b), vamos encontrar a força que esse campo exerce sobre a carga
. Usamos a fórmula da força elétrica:
Substituindo os componentes do campo:
Passo 10
Por fim, na parte ©, queremos mostrar que para
:
Quando
,
, então:
Para
, mesmo sendo zero inicialmente, ao considerar termos de segunda ordem na expansão para
, obtemos:
Isso acontece porque, apesar do componente
ser nulo na expressão original, a aproximação para
introduz pequenas variações que geram essa componente.
Resposta
(a) Os componentes do campo elétrico são
e
.
(b) Os componentes da força são e
.
© Para , as forças aproximam-se de
e
devido à simplificação dos termos dominantes quando
é muito maior que
.
(b) Os componentes da força são
© Para