Questão: Uma carga positiva Q é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo y desde y=0 até y=a. Uma carga puntiforme negativa -q está sobre a parte positiva do eixo x, a uma distância x da origem. (a) Determine os componentes x e y do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas Q nos pontos da parte positiva do eixo x. (b) Encontre os componentes x e y da força que a distribuição de cargas Q exerce sobre a carga q. © Mostre que, para os pontos x gg a, Fx=Q q / 4 pi epsilon0 x^2 e Fy=Q q a / 8 pi epsilon0 x^3. Explique o motivo desse resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga positiva distribuída de forma uniforme ao longo da parte positiva do eixo , de até . Além disso, temos uma carga puntiforme negativa localizada no eixo , a uma distância da origem. A gente vai trabalhar com conceitos de Campo Elétrico e Força Elétrica da Eletrostática. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, integração para distribuir as cargas e decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico criado por uma carga é uma região ao redor dessa carga onde outra carga sente uma força. No nosso caso, a carga está distribuída ao longo do eixo , então precisamos calcular o campo elétrico resultante dessa distribuição em um ponto no eixo .

Passo 3

Vamos começar determinando a expressão do campo elétrico diferencial devido a um elemento infinitesimal de carga na distribuição. A posição desse elemento está no eixo , então , onde é a densidade linear de carga.

Passo 4

A distância entre o elemento dE = 14piepsilon0 dQr^2 r no ponto e o ponto onde queremos calcular o campo, no eixo , é . Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico diferencial é:
onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 5

Vamos decompor dEx = dE cdot xr = 14piepsilon0 lambda dyx^2 + y^2 cdot xraizx^2 + y^2 = 14piepsilon0 lambda x , dy(x^2 + y^2)^3/2 em componentes e . Observando a simetria, o componente se cancela para cada elemento, então restará apenas o componente :

Passo 6

Para obter o campo elétrico total Ex = integral0^a 14piepsilon0 lambda x(x^2 + y^2)^3/2 dy , integramos Ex = Q x4piepsilon0 a integral0^a 1(x^2 + y^2)^3/2 dy de a :
Substituindo :

Passo 7

Calculando a integral:
integral dy(x^2 + y^2)^3/2 = yx^2 raizx^2 + y^2
Aplicando os limites de integração:
Ex = Q x4piepsilon0 a [ yx^2 raizx^2 + y^2 ]0^a = Q x4piepsilon0 a x^2 ( ax raizx^2 + a^2 - 0 ) = Q4piepsilon0 (x^2 + a^2)^1/2

Passo 8

Como Ey = 0 se anula pela simetria, o campo elétrico total na direção é zero:

Passo 9

Agora, para a parte (b), vamos encontrar a força que esse campo exerce sobre a carga F = q E . Usamos a fórmula da força elétrica:
Fx = q Ex = q cdot Q4piepsilon0 (x^2 + a^2)^1/2, Fy = q Ey = 0
Substituindo os componentes do campo:

Passo 10

Por fim, na parte ©, queremos mostrar que para Fx = Q q4piepsilon0 x^2, Fy = Q q a8piepsilon0 x^3 :
Ex approx Q4piepsilon0 x^2, Fx = q Ex = Q q4piepsilon0 x^2
Quando Fy approx Q q a8piepsilon0 x^3 , , então:
Para , mesmo sendo zero inicialmente, ao considerar termos de segunda ordem na expansão para , obtemos:
Isso acontece porque, apesar do componente ser nulo na expressão original, a aproximação para introduz pequenas variações que geram essa componente.

Resposta

(a) Os componentes do campo elétrico são e .
(b) Os componentes da força são e .
© Para , as forças aproximam-se de e devido à simplificação dos termos dominantes quando é muito maior que .

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