Questão: Uma carga positiva é distribuída uniformemente sobre a parte positiva do eixo desde até . Uma carga puntiforme negativa está sobre a parte positiva do eixo , a uma distância da origem. (a) Determine os componentes e do campo elétrico produzido pela distribuição de cargas nos pontos da parte positiva do eixo . (b) Encontre os componentes e da força que a distribuição de cargas exerce sobre a carga . © Mostre que, para os pontos e . Explique o motivo desse resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma carga positiva distribuída de forma uniforme ao longo da parte positiva do eixo , de até . Além disso, temos uma carga puntiforme negativa localizada no eixo , a uma distância da origem. A gente vai trabalhar com conceitos de Campo Elétrico e Força Elétrica da Eletrostática. Para resolver, vamos precisar usar a Lei de Coulomb, integração para distribuir as cargas e decomposição de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo elétrico. O campo elétrico criado por uma carga é uma região ao redor dessa carga onde outra carga sente uma força. No nosso caso, a carga está distribuída ao longo do eixo , então precisamos calcular o campo elétrico resultante dessa distribuição em um ponto no eixo .

Passo 3

Vamos começar determinando a expressão do campo elétrico diferencial devido a um elemento infinitesimal de carga na distribuição. A posição desse elemento está no eixo , então , onde é a densidade linear de carga.

Passo 4

A distância entre o elemento no ponto e o ponto onde queremos calcular o campo, no eixo , é . Segundo a Lei de Coulomb, o campo elétrico diferencial é:
onde é o vetor unitário na direção de .

Passo 5

Vamos decompor em componentes e . Observando a simetria, o componente se cancela para cada elemento, então restará apenas o componente :

Passo 6

Para obter o campo elétrico total , integramos de a :
Substituindo :

Passo 7

Calculando a integral:
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Como se anula pela simetria, o campo elétrico total na direção é zero:

Passo 9

Agora, para a parte (b), vamos encontrar a força que esse campo exerce sobre a carga . Usamos a fórmula da força elétrica:
Substituindo os componentes do campo:

Passo 10

Por fim, na parte ©, queremos mostrar que para :
Quando , , então:
Para , mesmo sendo zero inicialmente, ao considerar termos de segunda ordem na expansão para , obtemos:
Isso acontece porque, apesar do componente ser nulo na expressão original, a aproximação para introduz pequenas variações que geram essa componente.

Resposta

(a) Os componentes do campo elétrico são e .
(b) Os componentes da força são e .
© Para , as forças aproximam-se de e devido à simplificação dos termos dominantes quando é muito maior que .

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