O potencial elétrico num ponto (x, y) é dado por V(x, y) = 80 / (9 - x^2 - y^2), sendo (x, y) dado em volts. Determine as curvas equipotenciais de V em 10 volts, 16 volts e -5 volts.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o potencial elétrico em um ponto dado por . O que precisamos fazer é encontrar as curvas onde esse potencial é constante, ou seja, as curvas equipotenciais para volts, volts e volts. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra e entender o que significa uma curva equipotencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva equipotencial. Basicamente, é um conjunto de pontos no espaço onde o potencial elétrico tem o mesmo valor. No nosso caso, queremos essas curvas para três valores específicos de .

Passo 3

Vamos começar igualando a expressão do potencial elétrico ao valor desejado. Por exemplo, para volts, temos:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para e . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 5

Distribuindo o 10 dentro dos parênteses:

Passo 6

Vamos isolar os termos com e :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por para facilitar:

Passo 8

Dividindo todos os termos por 10:

Passo 9

Essa é a equação de uma circunferência com centro na origem e raio . Ou seja, a curva equipotencial para volts é um círculo de raio 1.

Passo 10

Agora, vamos repetir o mesmo processo para volts:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Isolando os termos:
Multiplicando por :
Dividindo por 16:

Passo 11

Essa é a equação de uma circunferência com centro na origem e raio . Então, a curva equipotencial para volts é um círculo de raio 2.

Passo 12

Por último, vamos fazer para volts:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Isolando os termos:
Dividindo por 5:

Passo 13

Essa é a equação de uma circunferência com centro na origem e raio . Portanto, a curva equipotencial para volts é um círculo de raio 5.

Resposta

As curvas equipotenciais de são circunferências centradas na origem com os seguintes raios:
  • Para volts: raio 1
  • Para volts: raio 2
  • Para volts: raio 5

Exercícios relacionados

3.0 Sejam F: R^3 -> R^3 o campo vetorial tridimensional dado por F(x, y) = x i +y j + z k e D a região delimitada pela esfera x^2 + y^2 + z^2 <= 1. Determine o fluxo de F através da superfície esférica, com normal n apontando para fora da esfera.
Sabendo-se que D(x, y) = 2y + 3x^2 - 2x + 4 representa a declinação magnética, em °, do ponto (x, y) de uma superfície plana em algum lugar no planeta Terra. Pede-se:
b) Determine a equação da isogônica (linha que une pontos de mesma declinação magnética) que passa pelo ponto (4, -16). Represente-a no plano x 0 y.
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas.
integral theta cos theta d theta u=theta, d v=cos theta d theta
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
integralraizpi2^raizpi theta^3 cos (theta^2) d theta