Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
integralraizpi2^raizpi theta^3 cos (theta^2) d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral definida:
integralraizpi2^raizpi theta^3 cos (theta^2) d theta
O enunciado pede para a gente fazer uma substituição e depois usar integração por partes. Isso está relacionado a técnicas de cálculo integral que ajudam a simplificar integrais complicadas. Vamos precisar saber como fazer substituições e aplicar a fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = theta^2
Agora, vamos derivar du = 2theta , dtheta Rightarrow dtheta = du2theta em relação a para encontrar :
Mas na nossa integral temos , que pode ser escrita como . Vamos substituir tudo na integral.

Passo 3

Substituindo integral theta^3 cos(theta^2) dtheta = integral theta cdot u cdot cos(u) cdot du2theta = 12 integral u cos(u) du e 12 integralpi4^pi u cos(u) du , a integral fica:
Os limites de integração também mudam conforme a substituição:
  • Quando ,
  • Quando ,
    Então, a integral definida fica:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a técnica de integração por partes na integral integral u , dv = uv - integral v , du . A fórmula de integração por partes é:
integral u cos(u) du = u sin(u) - integral sin(u) du = u sin(u) + cos(u) + C
Vamos escolher:

  • Aplicando a fórmula:

Passo 5

Voltando à nossa integral original:
12 integralpi4^pi u cos(u) du = 12 [ u sin(u) + cos(u) ]pi4^pi
Vamos agora calcular isso nos limites:
Para pi sin(pi) + cos(pi) = pi cdot 0 + (-1) = -1 :
pi4 sin(pi4) + cos(pi4) = pi4 cdot raiz22 + raiz22 = pi raiz28 + raiz22
Para -1 - ( pi raiz28 + raiz22 ) = -1 - pi raiz28 - raiz22 :
Então, a diferença fica:

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
-1 - pi raiz28 - raiz22

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integral theta cos theta d theta u=theta, d v=cos theta d theta
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
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Resp. X=c1[l1 1 0] e^-t+c2[c-1 1 0] e^t+c3[l0 0 1] e^t+e^2 t[c23 -13 0]+sent[l12 0 0]+cos t[c0 -12 0]+t[c0 0 -1]+[c0 0 -1].