O potencial elétrico em pontos do plano x y é V(x, y)=(2,0 V / m^2) x^2-(3,0 V / m^2) y^2, com x e y dados em metros. Sejam i e jos vetores unitários ao longo dos eixos x e y. O campo elétrico no ponto ( x, y ) =(1,0 m, 2,0 m) é
A) E=-4 x i+6 y j
B) E=4 x i-6 y j
C) E=(4 V / m) i-(12 V / m) j
D) E=12,6 V / m
E) E=-(4 V / m) i+(12 V / m) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de física juntos! O enunciado nos dá uma função do potencial elétrico no plano $ xy $ e pede para calcular o campo elétrico em um ponto específico. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivadas parciais, para encontrar o campo elétrico a partir do potencial. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico $ \mathbf{E} $ está relacionado ao potencial elétrico $ V(x, y) $ pela relação:
E
Aqui, $ \nabla V $ é o gradiente do potencial, que envolve as derivadas parciais de $ V $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de $ V(x, y) $:
V(x, y)
A derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $ é:
V(x, y) = (2,0 , V/m^2) , x^2 - (3,0 , V/m^2) , y^2
E a derivada parcial de $ V $ em relação a $ y $ é:
V

Passo 4

Agora, aplicamos a relação do campo elétrico com o gradiente do potencial:
E = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j )
Substituindo as derivadas que calculamos:
E = -( 4x i - 6y j ) = -4x i + 6y j

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores do ponto dado $ (x, y) = (1,0 , m, 2,0 , m) $:
(x, y) = (1,0 , m, 2,0 , m)

Resposta

A alternativa correta é:
E) $ \mathbf{E}=-(4 , V/m) \mathbf{i}+(12 , V/m) \mathbf{j} $

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