O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
onde
é uma constante. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico na região. (b) o trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a
é deslocada do ponto
,
) metros até a origem é igual a
. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou fala sobre potencial elétrico e campo elétrico. A gente vai precisar entender como relacionar essas duas coisas usando derivadas. No primeiro item, a gente precisa encontrar uma expressão para o campo elétrico a partir do potencial dado. No segundo item, vamos calcular a constante
usando o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga de teste é movida de um ponto até a origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é igual ao negativo do gradiente do potencial. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação às coordenadas
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais do potencial
em relação a
,
e
:
Passo 4
Agora, aplicando a relação
, temos:
Substituindo as derivadas que calculamos:
Passo 5
Simplificando, ficamos com:
Então, essa é a expressão para o campo elétrico na região.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o trabalho realizado pelo campo elétrico para mover uma carga
de um ponto A para um ponto B é dado por:
Aqui, o trabalho
é
J, a carga
é
C, o ponto A é a origem
e o ponto B é
metros.
Passo 7
Vamos calcular
e
:
Para o ponto A
:
Para o ponto B
:
Passo 8
Substituindo na fórmula do trabalho:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
é aproximadamente
V/m².