O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por
V(x, y, z)=A(x^2-3 y^2+z^2)
onde A é uma constante. (a) Deduza uma expressão para o campo elétrico na região. (b) o trabalho realizado pelo campo quando uma carga de teste igual a 1,50 mu C é deslocada do ponto (x, y, z)=(0, 0,0,250 ) metros até a origem é igual a 6,0 times 10^-5 J. Calcule A Q23.86

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me enviou fala sobre potencial elétrico e campo elétrico. A gente vai precisar entender como relacionar essas duas coisas usando derivadas. No primeiro item, a gente precisa encontrar uma expressão para o campo elétrico a partir do potencial dado. No segundo item, vamos calcular a constante usando o trabalho realizado pelo campo elétrico quando uma carga de teste é movida de um ponto até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial elétrico pela relação:
Isso significa que o campo elétrico é igual ao negativo do gradiente do potencial. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação às coordenadas , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais do potencial partial Vpartial x = 2A x em relação a partial Vpartial y = -6A y , partial Vpartial z = 2A z e :

Passo 4

Agora, aplicando a relação E = -( partial Vpartial x , i + partial Vpartial y , j + partial Vpartial z , k ) , temos:
E = -( 2A x , i - 6A y , j + 2A z , k )
Substituindo as derivadas que calculamos:

Passo 5

Simplificando, ficamos com:
E = -2A x , i + 6A y , j - 2A z , k
Então, essa é a expressão para o campo elétrico na região.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b). Sabemos que o trabalho realizado pelo campo elétrico para mover uma carga W = q ( V(B) - V(A) ) de um ponto A para um ponto B é dado por:
Aqui, o trabalho é J, a carga é C, o ponto A é a origem e o ponto B é metros.

Passo 7

Vamos calcular V(0, 0, 0) = A(0^2 - 3 times 0^2 + 0^2) = 0 e V(0, 0, 0,250) = A(0^2 - 3 times 0^2 + (0,250)^2) = A times (0,0625) :
Para o ponto A :
Para o ponto B :

Passo 8

Substituindo na fórmula do trabalho:
6,0 times 10^-5 = 1,50 times 10^-6 times (0 - 0,0625A)

Passo 9

Resolvendo para 6,0 times 10^-5 = -1,50 times 10^-6 times 0,0625A :
6,0 times 10^-5 = -9,375 times 10^-8A
A = 6,0 times 10^-5-9,375 times 10^-8 approx -640

Resposta

O valor de é aproximadamente V/m².

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