O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por: V=2, x^2+y, z, em que o potencial é dado em Volt e x, y e z é dado em metro. Determine o módulo do campo elétrico no ponto x=2 m, y=1 m e z=2 m.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos o potencial elétrico em uma região do espaço dado por . Queremos descobrir o módulo do campo elétrico no ponto onde , e . Para isso, vamos usar a relação entre o potencial elétrico e o campo elétrico.

Passo 2

O campo elétrico E = -nabla V está relacionado com o potencial elétrico através da equação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. O gradiente nos dá as derivadas parciais de em relação a , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais do potencial partial Vpartial x = partialpartial x (2x^2 + y z) = 4x :
  1. Derivada parcial em relação a partial Vpartial y = partialpartial y (2x^2 + y z) = z :
    partial Vpartial z = partialpartial z (2x^2 + y z) = y
  2. Derivada parcial em relação a :
  3. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do campo elétrico:
E = -( partial Vpartial x i + partial Vpartial y j + partial Vpartial z k ) = -(4x, i + z, j + y, k)
Substituindo os valores do ponto E = -(4 times 2, i + 2, j + 1, k) = -(8, i + 2, j + 1, k) :

Passo 5

Para encontrar o módulo do campo elétrico |E| = raiz(-8)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = raiz64 + 4 + 1 = raiz69 approx 8,31 , V/m , calculamos a norma do vetor :

Resposta

O módulo do campo elétrico no ponto dado é aproximadamente .

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