Suponha que o movimento de uma partícula no eixo x seja regido pela equação
ddot(x) + x dot(x) + x = 0
(a) Determine a relação entre v e x, v ≠ -1.
(b) Mostre que a relação entre v e x, v > -1, é dada por uma curva fechada.
© Conclua que toda solução x = x(t), com v > -1, é uma função periódica.
(d) Mostre que se a derivada de x = x(t) for igual a -1 para todo t, então x = x(t) com t em R, será solução da equação.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo x:
O conteúdo envolve equações diferenciais e relações entre velocidade v e posição x. Pra resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e análise de curvas no plano fase (relacionando v e x).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Determinar a relação entre v e x, onde .
Começamos lembrando que . Então, podemos reescrever a equação original em termos de v:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para facilitar a integração:
Percebemos que e . Portanto, podemos reescrever a equação como:
Integrando em relação ao tempo t, obtemos:
Notamos que , mas para simplificar, reorganizamos a relação:
Finalmente, isolando os termos:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Mostrar que a relação entre v e x, com , é dada por uma curva fechada.
A equação que encontramos é:
Podemos completar o quadrado para entender a forma da curva:
Isso descreve uma elipse deslocada no plano . Como uma elipse é uma curva fechada, fica demonstrado que para , a relação entre v e x forma uma curva fechada.

Passo 4

Seguimos para a parte ©: Concluir que toda solução , com , é uma função periódica.
Como demonstramos que as soluções seguem curvas fechadas no plano fase, isso implica que a partícula retorna ao mesmo ponto após certo tempo. Ou seja, o movimento se repete indefinidamente. Portanto, x(t) é uma função periódica, pois repete seus valores em intervalos regulares de tempo.

Passo 5

Por último, a parte (d): Mostrar que se a derivada de for igual a -1 para todo t, então será solução da equação dada para todo t in R.
Se , então . Substituindo na equação original:
Isso confirma que a condição satisfaz a equação diferencial para todo t, ou seja, x(t) com derivada igual a -1 é uma solução válida.

Resposta

Todas as partes foram resolvidas conforme solicitado:
(a) A relação entre v e x é .
(b) Para , essa relação descreve uma curva fechada (elipse) no plano fase.
© Portanto, toda solução x(t) com é uma função periódica.
(d) Se para todo t, então x(t) é uma solução da equação diferencial dada para todo t in R.

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