Suponha que o movimento de uma partícula no eixo
seja regido pela equação
(a) Determine a relação entre
e
.
(b) Mostre que a relação entre
e
, é dada por uma curva fechada.
© Conclua que toda solução
, com
, é uma função periódica.
(d) Mostre que se a derivada de
for igual a -1 para todo
, então
com
em
, será solução da equação.
(b) Mostre que a relação entre
© Conclua que toda solução
(d) Mostre que se a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que tá rolando aqui. A gente tem uma equação diferencial que descreve o movimento de uma partícula no eixo
:
O conteúdo envolve equações diferenciais e relações entre velocidade
e posição
. Pra resolver, vamos precisar usar técnicas de integração e análise de curvas no plano fase (relacionando
e
).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte (a): Determinar a relação entre
e
, onde
.
Começamos lembrando que
. Então, podemos reescrever a equação original em termos de
:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para facilitar a integração:
Percebemos que
e
. Portanto, podemos reescrever a equação como:
Integrando em relação ao tempo
, obtemos:
Notamos que
, mas para simplificar, reorganizamos a relação:
Finalmente, isolando os termos:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): Mostrar que a relação entre
e
, com
, é dada por uma curva fechada.
A equação que encontramos é:
Podemos completar o quadrado para entender a forma da curva:
Isso descreve uma elipse deslocada no plano
. Como uma elipse é uma curva fechada, fica demonstrado que para
, a relação entre
e
forma uma curva fechada.
Passo 4
Seguimos para a parte ©: Concluir que toda solução
, com
, é uma função periódica.
Como demonstramos que as soluções
seguem curvas fechadas no plano fase, isso implica que a partícula retorna ao mesmo ponto após certo tempo. Ou seja, o movimento se repete indefinidamente. Portanto,
é uma função periódica, pois repete seus valores em intervalos regulares de tempo.
Passo 5
Por último, a parte (d): Mostrar que se a derivada de
for igual a -1 para todo
, então
será solução da equação dada para todo
.
Se
, então
. Substituindo na equação original:
Isso confirma que a condição
satisfaz a equação diferencial para todo
, ou seja,
com derivada igual a -1 é uma solução válida.
Resposta
Todas as partes foram resolvidas conforme solicitado:
(a) A relação entre
e
é
.
(b) Para
, essa relação descreve uma curva fechada (elipse) no plano fase.
© Portanto, toda solução
com
é uma função periódica.
(d) Se
para todo
, então
é uma solução da equação diferencial dada para todo
.