(M) O potencial eletrostático produzido por uma certa distribuição de cargas em uma região do espaço é dado por V(x, y, z)=B(x^2+y^2+z^2), onde B é uma constante positiva.
(a) Determine o vetor campo elétrico na mesma região.

Passo 1

Beleza, a gente tem um potencial eletrostático dado por , onde é uma constante positiva. A gente precisa achar o vetor campo elétrico nessa mesma região. Para isso, vamos usar o conceito de que o campo elétrico é relacionado ao potencial através do gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = -nabla V está relacionado ao potencial pela equação:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de nabla V = ( partial Vpartial x, partial Vpartial y, partial Vpartial z ) . O gradiente em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos derivar em relação a cada variável.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
partial Vpartial x = 2Bx
partial Vpartial y = 2By
partial Vpartial z = 2Bz
Então, o gradiente de nabla V = (2Bx, 2By, 2Bz) é:

Passo 5

Aplicando a relação E = - (2Bx, 2By, 2Bz) = (-2Bx, -2By, -2Bz) , temos:

Resposta

O vetor campo elétrico na região é .

Exercícios relacionados