O potencial de uma superfície esférica de raio é dado por
em que é uma constante. Encontre o potencial na região dentro da esfera e na região fora da esfera . Encontre também a densidade de carga na superfície esférica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Eletrostática onde uma superfície esférica de raio tem um potencial dado por:
Nosso objetivo é encontrar o potencial nas regiões dentro () e fora () da esfera, além de determinar a densidade de carga na superfície esférica. Para isso, vamos usar a equação de Laplace e expandir o potencial em harmônicos esféricos, aplicando as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o interior da esfera (). Dentro dessa região, o potencial pode ser expresso usando harmônicos esféricos. Como precisamos que o potencial seja finito no centro (), descartamos os termos que tendem a infinito. Assim, a expressão para o potencial interno fica:
Onde são os polinômios de Legendre e são constantes a serem determinadas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o exterior da esfera (). Nessa região, o potencial também é expresso em termos de harmônicos esféricos, mas agora precisamos garantir que o potencial tende a zero quando vai para infinito. Portanto, a expressão para o potencial externo é:
Aqui, são outras constantes a serem encontradas.
Passo 4
Vamos aplicar a condição de continuidade do potencial na superfície da esfera (). O potencial interno e externo devem ser iguais nessa superfície:
Isso nos mostra que apenas o termo com está presente, pois . Portanto, .
Passo 5
Resolvendo para e :
Assim, os potenciais são:
Passo 6
Agora, para encontrar a densidade de carga na superfície, usamos a relação entre o salto no campo elétrico e a densidade superficial de carga :
Calculando os campos elétricos a partir dos potenciais: