O potencial de uma superfície esférica de raio R é dado por
Ve(theta)=V0 cos theta, 0 <= theta <= pi
em que V0 é uma constante. Encontre o potencial na região dentro da esfera (r e na região fora da esfera (r>R). Encontre também a densidade de carga na superfície esférica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Eletrostática onde uma superfície esférica de raio Ve(theta) = V0 cos theta, 0 <= theta <= pi tem um potencial dado por:
Nosso objetivo é encontrar o potencial nas regiões dentro ( ) e fora ( ) da esfera, além de determinar a densidade de carga na superfície esférica. Para isso, vamos usar a equação de Laplace e expandir o potencial em harmônicos esféricos, aplicando as condições de contorno apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o interior da esfera ( Vint(r, theta) = suml=0^infty ( Al r^l ) Pl(cos theta) ). Dentro dessa região, o potencial pode ser expresso usando harmônicos esféricos. Como precisamos que o potencial seja finito no centro ( ), descartamos os termos que tendem a infinito. Assim, a expressão para o potencial interno fica:
Onde são os polinômios de Legendre e são constantes a serem determinadas.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o exterior da esfera ( Vext(r, theta) = suml=0^infty ( Blr^l+1 ) Pl(cos theta) ). Nessa região, o potencial também é expresso em termos de harmônicos esféricos, mas agora precisamos garantir que o potencial tende a zero quando vai para infinito. Portanto, a expressão para o potencial externo é:
Aqui, são outras constantes a serem encontradas.

Passo 4

Vamos aplicar a condição de continuidade do potencial na superfície da esfera ( suml=0^infty ( Al R^l ) Pl(cos theta) = suml=0^infty ( BlR^l+1 ) Pl(cos theta) = Ve(theta) = V0 cos theta ). O potencial interno e externo devem ser iguais nessa superfície:
Isso nos mostra que apenas o termo com está presente, pois . Portanto, .

Passo 5

Resolvendo para A1 = V0R, B1 = V0 R^2 e Vint(r, theta) = V0R r cos theta :
Vext(r, theta) = V0 R^2r^2 cos theta
Assim, os potenciais são:

Passo 6

Agora, para encontrar a densidade de carga na superfície, usamos a relação entre o salto no campo elétrico e a densidade superficial de carga sigma = epsilon0 ( Eext - Eint ) :
Er = -partial Vpartial r
Calculando os campos elétricos a partir dos potenciais:
Eint = -partial Vintpartial r = -V0R cos theta
Então,
Eext = -partial Vextpartial r = 2 V0 R^2r^3 cos theta g|r=R = 2 V0R cos theta
sigma = epsilon0 ( 2 V0R cos theta - ( -V0R cos theta ) ) = 3 epsilon0 V0R cos theta
Portanto,

Resposta

O potencial dentro da esfera é:
Vint(r, theta) = V0R r cos theta
O potencial fora da esfera é:
Vext(r, theta) = V0 R^2r^2 cos theta
E a densidade de carga na superfície esférica é:
sigma(theta) = 3 epsilon0 V0R cos theta

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