O potencial de uma superfície esférica de raio
é dado por
em que
é uma constante. Encontre o potencial na região dentro da esfera
e na região fora da esfera
. Encontre também a densidade de carga na superfície esférica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de Eletrostática onde uma superfície esférica de raio
tem um potencial dado por:
Nosso objetivo é encontrar o potencial nas regiões dentro (
) e fora (
) da esfera, além de determinar a densidade de carga na superfície esférica. Para isso, vamos usar a equação de Laplace e expandir o potencial em harmônicos esféricos, aplicando as condições de contorno apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o interior da esfera (
). Dentro dessa região, o potencial
pode ser expresso usando harmônicos esféricos. Como precisamos que o potencial seja finito no centro (
), descartamos os termos que tendem a infinito. Assim, a expressão para o potencial interno fica:
Onde
são os polinômios de Legendre e
são constantes a serem determinadas.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o exterior da esfera (
). Nessa região, o potencial
também é expresso em termos de harmônicos esféricos, mas agora precisamos garantir que o potencial tende a zero quando
vai para infinito. Portanto, a expressão para o potencial externo é:
Aqui,
são outras constantes a serem encontradas.
Passo 4
Vamos aplicar a condição de continuidade do potencial na superfície da esfera (
). O potencial interno e externo devem ser iguais nessa superfície:
Isso nos mostra que apenas o termo com
está presente, pois
. Portanto,
.
Passo 5
Resolvendo para
e
:
Assim, os potenciais são:
Passo 6
Agora, para encontrar a densidade de carga na superfície, usamos a relação entre o salto no campo elétrico e a densidade superficial de carga
:
Calculando os campos elétricos a partir dos potenciais:
Então,
Portanto,
Resposta
O potencial dentro da esfera é:
O potencial fora da esfera é:
E a densidade de carga na superfície esférica é: