Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em
:
(h)
.
(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se uma determinada função definida em um espaço vetorial específico é mesmo um produto interno. Estamos trabalhando com o espaço V que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, ou seja,
. As matrizes
e
são dadas assim:
A função em questão para verificar se é um produto interno é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre produto interno. Em matemática, um produto interno é uma função que associa dois vetores do espaço vetorial a um número real, e deve obedecer a certas propriedades para ser considerado válido. Essas propriedades são importantes porque garantem que o produto interno se comporte de maneira consistente, permitindo definir conceitos como ângulos e comprimentos no espaço vetorial.
As principais propriedades que uma função
deve satisfazer para ser um produto interno são:
- Positividade: Para todo vetor
, , e se e somente se é o vetor zero. - Linearidade na Primeira Entrada: Para todo vetor
e para quaisquer vetores e escalar , temos: - Simetria: Para todos os vetores
e , .
Vamos checar se a função dada satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
1. Positividade:
Vamos calcular
:
Cada termo
é sempre maior ou igual a zero, então a soma também será maior ou igual a zero. Além disso,
somente se todos
, ou seja,
é a matriz zero. Então, a propriedade de positividade está satisfeita.
2. Linearidade na Primeira Entrada:
Vamos considerar dois vetores
e
, e um escalar
. Calculamos
:
Distribuindo o produto:
Agrupando os termos com
:
Isso equivale a:
Portanto, a propriedade de linearidade na primeira entrada também está satisfeita.
3. Simetria:
Vamos verificar se
:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
), temos que
. A propriedade de simetria está, portanto, satisfeita.
Resposta
Sim, a função definida é um produto interno em
porque satisfaz todas as propriedades necessárias: positividade, linearidade na primeira entrada e simetria.