Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(h) V=R^2 times 2, A=[lla1 & a2 a3 & a4], B=[llb1 & b2 b3 & b4], lang<= A, Brang<==a1 b1+a2 b2+a3 b3+a4 b4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se uma determinada função definida em um espaço vetorial específico é mesmo um produto interno. Estamos trabalhando com o espaço V que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, ou seja, A = a1 & a2 a3 & a4 , B = b1 & b2 b3 & b4 . As matrizes lang<= A, B rang<= = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 + a4 b4 e são dadas assim:
A função em questão para verificar se é um produto interno é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre produto interno. Em matemática, um produto interno é uma função que associa dois vetores do espaço vetorial a um número real, e deve obedecer a certas propriedades para ser considerado válido. Essas propriedades são importantes porque garantem que o produto interno se comporte de maneira consistente, permitindo definir conceitos como ângulos e comprimentos no espaço vetorial.
As principais propriedades que uma função lang<= alpha A + B, C rang<= = alpha lang<= A, C rang<= + lang<= B, C rang<= deve satisfazer para ser um produto interno são:
  1. Positividade: Para todo vetor , , e se e somente se é o vetor zero.
  2. Linearidade na Primeira Entrada: Para todo vetor e para quaisquer vetores e escalar , temos:
  3. Simetria: Para todos os vetores e , .
Vamos checar se a função dada satisfaz todas essas propriedades.

Passo 3

1. Positividade:
Vamos calcular lang<= A, A rang<= = a1^2 + a2^2 + a3^2 + a4^2 :
lang<= alpha A + B, C rang<= = (alpha a1 + b1)c1 + (alpha a2 + b2)c2 + (alpha a3 + b3)c3 + (alpha a4 + b4)c4
Cada termo = alpha a1c1 + b1c1 + alpha a2c2 + b2c2 + alpha a3c3 + b3c3 + alpha a4c4 + b4c4 é sempre maior ou igual a zero, então a soma também será maior ou igual a zero. Além disso, = alpha(a1c1 + a2c2 + a3c3 + a4c4) + (b1c1 + b2c2 + b3c3 + b4c4) somente se todos = alpha lang<= A, C rang<= + lang<= B, C rang<= , ou seja, lang<= A, B rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3 + a4b4 é a matriz zero. Então, a propriedade de positividade está satisfeita.
2. Linearidade na Primeira Entrada:
Vamos considerar dois vetores lang<= B, A rang<= = b1a1 + b2a2 + b3a3 + b4a4 e , e um escalar . Calculamos :
Distribuindo o produto:
Agrupando os termos com :
Isso equivale a:
Portanto, a propriedade de linearidade na primeira entrada também está satisfeita.
3. Simetria:
Vamos verificar se :
Como a multiplicação de números reais é comutativa ( ), temos que . A propriedade de simetria está, portanto, satisfeita.

Resposta

Sim, a função definida é um produto interno em porque satisfaz todas as propriedades necessárias: positividade, linearidade na primeira entrada e simetria.

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