Seja um espaço vetorial sobre , com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em :
(h) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente verificar se uma determinada função definida em um espaço vetorial específico é mesmo um produto interno. Estamos trabalhando com o espaço V que é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, ou seja, . As matrizes e são dadas assim:
A função em questão para verificar se é um produto interno é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre produto interno. Em matemática, um produto interno é uma função que associa dois vetores do espaço vetorial a um número real, e deve obedecer a certas propriedades para ser considerado válido. Essas propriedades são importantes porque garantem que o produto interno se comporte de maneira consistente, permitindo definir conceitos como ângulos e comprimentos no espaço vetorial.
As principais propriedades que uma função deve satisfazer para ser um produto interno são:
Positividade: Para todo vetor , , e se e somente se é o vetor zero.
Linearidade na Primeira Entrada: Para todo vetor e para quaisquer vetores e escalar , temos:
Simetria: Para todos os vetores e , .
Vamos checar se a função dada satisfaz todas essas propriedades.
Passo 3
1. Positividade:
Vamos calcular :
Cada termo é sempre maior ou igual a zero, então a soma também será maior ou igual a zero. Além disso, somente se todos , ou seja, é a matriz zero. Então, a propriedade de positividade está satisfeita.
2. Linearidade na Primeira Entrada:
Vamos considerar dois vetores e , e um escalar . Calculamos :
Distribuindo o produto:
Agrupando os termos com :
Isso equivale a:
Portanto, a propriedade de linearidade na primeira entrada também está satisfeita.
3. Simetria:
Vamos verificar se :
Como a multiplicação de números reais é comutativa (), temos que . A propriedade de simetria está, portanto, satisfeita.
Resposta
Sim, a função definida é um produto interno em porque satisfaz todas as propriedades necessárias: positividade, linearidade na primeira entrada e simetria.