Resolva os sistemas de equações escrevendo as matrizes ampliadas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
2 x+4 y+6 z & =-6 3 x-2 y-4 z & =-38 x+2 y+3 z & =-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três variáveis (x, y, z) e quer resolver esse sistema usando matrizes ampliadas. Vamos montar a matriz ampliada, descobrir o posto dessa matriz e também o posto da matriz dos coeficientes. Se o sistema for possível, vamos determinar o grau de liberdade, ou seja, quantas variáveis podemos escolher livremente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com matrizes e como calcular o posto delas.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz ampliada. Essa matriz inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Veja como fica:
[ccc|c 2 & 4 & 6 & -6 3 & -2 & -4 & -38 1 & 2 & 3 & -3 ]

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa matriz para encontrar o posto da matriz dos coeficientes. O posto é basicamente o número de linhas não nulas após fazermos algumas operações para deixar a matriz mais simples.
Vamos começar pelas operações de linha:
  1. Normalizar a primeira linha dividindo todos os elementos por 2:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & -3 3 & -2 & -4 & -38 1 & 2 & 3 & -3 ]
  1. Eliminar o primeiro elemento da segunda e da terceira linha:
    • Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
      3 - 3(1) = 0,
      -2 - 3(2) = -8,
      -4 - 3(3) = -13,
      -38 - 3(-3) = -29
      Então, a segunda linha fica:
      [0 -8 -13 | -29]
    • Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
      1 - 1 = 0,
      2 - 2 = 0,
      3 - 3 = 0,
      -3 - (-3) = 0
      Então, a terceira linha fica toda zerada:
      [0 0 0 | 0]
A matriz agora está assim:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & -3 0 & -8 & -13 & -29 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 4

Vamos continuar simplificando a segunda linha para facilitar a visualização:
  1. Normalizar a segunda linha dividindo todos os elementos por -8:
[ccc|c 1 & 2 & 3 & -3 0 & 1 & 138 & 298 0 & 0 & 0 & 0 ]
Agora, temos a matriz em uma forma mais simples onde é fácil identificar o posto da matriz dos coeficientes. Aqui, as duas primeiras linhas têm elementos não nulos, então o posto da matriz dos coeficientes é 2.

Passo 5

Agora, vamos verificar o posto da matriz ampliada. A matriz ampliada inclui a coluna dos termos constantes. Observamos que após as operações realizadas, a terceira linha ficou toda zerada, o que não afeta o posto. Portanto, o posto da matriz ampliada também é 2.

Passo 6

Como o posto da matriz dos coeficientes (2) é igual ao posto da matriz ampliada (2), o sistema é possível e determinado. Agora, para encontrar o grau de liberdade, subtraímos o posto do número de variáveis:
Grau de liberdade = Número de variáveis - Posto = 3 - 2 = 1 úá
Isso significa que temos 1 grau de liberdade, ou seja, uma das variáveis pode ser escolhida livremente, e as outras serão determinadas com base nessa escolha.

Resposta

O sistema é possível e possui 1 grau de liberdade, ou seja, tem infinitas soluções dependendo do valor escolhido para uma das variáveis.

Exercícios relacionados

(Potências de matrizes) Dadas as matrizes quadradas M abaixo indicadas, calcluar M^2, M^3, etc. Induzir o valor de M^n para todo número natural n in N.
15.2 M=[ll 1 & 1 0 & 2 ]
Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(f) V=P2(R), lang<= p, qrang<==integral-1^1 p(x) q^prime(x) d x.
Seja V um espaço vetorial sobre R, com produto interno. Verifique se cada uma das funções a seguir são produtos internos em V :
(h) V=R^2 times 2, A=[lla1 & a2 a3 & a4], B=[llb1 & b2 b3 & b4], lang<= A, Brang<==a1 b1+a2 b2+a3 b3+a4 b4.
(Determinar se cada matriz abaixo indicada é invertível; em caso afirmativo, calcular sua inversa.)
20.3 A=[lll1 & 4 & 7 2 & 5 & 8 3 & 6 & 9]