Resolva os sistemas de equações escrevendo as matrizes ampliadas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três variáveis (x, y, z) e quer resolver esse sistema usando matrizes ampliadas. Vamos montar a matriz ampliada, descobrir o posto dessa matriz e também o posto da matriz dos coeficientes. Se o sistema for possível, vamos determinar o grau de liberdade, ou seja, quantas variáveis podemos escolher livremente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com matrizes e como calcular o posto delas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz ampliada. Essa matriz inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Veja como fica:
Agora, vamos simplificar essa matriz para encontrar o posto da matriz dos coeficientes. O posto é basicamente o número de linhas não nulas após fazermos algumas operações para deixar a matriz mais simples.
Vamos começar pelas operações de linha:
Normalizar a primeira linha dividindo todos os elementos por 2:
Agora, temos a matriz em uma forma mais simples onde é fácil identificar o posto da matriz dos coeficientes. Aqui, as duas primeiras linhas têm elementos não nulos, então o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Passo 5
Agora, vamos verificar o posto da matriz ampliada. A matriz ampliada inclui a coluna dos termos constantes. Observamos que após as operações realizadas, a terceira linha ficou toda zerada, o que não afeta o posto. Portanto, o posto da matriz ampliada também é 2.
Passo 6
Como o posto da matriz dos coeficientes (2) é igual ao posto da matriz ampliada (2), o sistema é possível e determinado. Agora, para encontrar o grau de liberdade, subtraímos o posto do número de variáveis:
Grau de liberdade = Número de variáveis - Posto = 3 - 2 = 1 úá
Isso significa que temos 1 grau de liberdade, ou seja, uma das variáveis pode ser escolhida livremente, e as outras serão determinadas com base nessa escolha.
Resposta
O sistema é possível e possui 1 grau de liberdade, ou seja, tem infinitas soluções dependendo do valor escolhido para uma das variáveis.