Resolva os sistemas de equações escrevendo as matrizes ampliadas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possivel, o grau de liberdade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de três equações com três variáveis (x, y, z) e quer resolver esse sistema usando matrizes ampliadas. Vamos montar a matriz ampliada, descobrir o posto dessa matriz e também o posto da matriz dos coeficientes. Se o sistema for possível, vamos determinar o grau de liberdade, ou seja, quantas variáveis podemos escolher livremente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com matrizes e como calcular o posto delas.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz ampliada. Essa matriz inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes das equações. Veja como fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa matriz para encontrar o posto da matriz dos coeficientes. O posto é basicamente o número de linhas não nulas após fazermos algumas operações para deixar a matriz mais simples.
Vamos começar pelas operações de linha:
- Normalizar a primeira linha dividindo todos os elementos por 2:
- Eliminar o primeiro elemento da segunda e da terceira linha:
-
Subtraímos 3 vezes a primeira linha da segunda linha:
,3 - 3(1) = 0 ,-2 - 3(2) = -8 ,-4 - 3(3) = -13 -38 - 3(-3) = -29 Então, a segunda linha fica:[0 -8 -13 | -29] -
Subtraímos a primeira linha da terceira linha:
,1 - 1 = 0 ,2 - 2 = 0 ,3 - 3 = 0 -3 - (-3) = 0 Então, a terceira linha fica toda zerada:[0 0 0 | 0]
-
A matriz agora está assim:
Passo 4
Vamos continuar simplificando a segunda linha para facilitar a visualização:
- Normalizar a segunda linha dividindo todos os elementos por -8:
Agora, temos a matriz em uma forma mais simples onde é fácil identificar o posto da matriz dos coeficientes. Aqui, as duas primeiras linhas têm elementos não nulos, então o posto da matriz dos coeficientes é 2.
Passo 5
Agora, vamos verificar o posto da matriz ampliada. A matriz ampliada inclui a coluna dos termos constantes. Observamos que após as operações realizadas, a terceira linha ficou toda zerada, o que não afeta o posto. Portanto, o posto da matriz ampliada também é 2.
Passo 6
Como o posto da matriz dos coeficientes (2) é igual ao posto da matriz ampliada (2), o sistema é possível e determinado. Agora, para encontrar o grau de liberdade, subtraímos o posto do número de variáveis:
Isso significa que temos 1 grau de liberdade, ou seja, uma das variáveis pode ser escolhida livremente, e as outras serão determinadas com base nessa escolha.
Resposta
O sistema é possível e possui 1 grau de liberdade, ou seja, tem infinitas soluções dependendo do valor escolhido para uma das variáveis.