Verificar a regra da cadeia para as funções:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para verificar a regra da cadeia para a função
, onde
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia para derivadas de funções compostas. Vamos precisar derivar
em relação a
usando a regra da cadeia, que conecta as derivadas parciais de
em relação a
e
com as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia. Para uma função
onde
e
são funções de
, a derivada de
em relação a
é dada por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, e também as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos derivar
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte do exercício! A função é
, onde
e
. Novamente, vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de
em relação a
.
Passo 7
Relembrando a Regra da Cadeia:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 8
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 9
Agora, derivamos
e
em relação a
:
Passo 10
Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: