Verificar a regra da cadeia para as funções:
a) f(x, y) = sen(2x + 5y), x = cos(t), y = sen(t)
b) f(x, y) = ln(x y), x = 2 t^2, y = t^2 + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o primeiro exercício juntos! A questão pede para verificar a regra da cadeia para a função , onde e . A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a Regra da Cadeia para derivadas de funções compostas. Vamos precisar derivar em relação a usando a regra da cadeia, que conecta as derivadas parciais de em relação a e com as derivadas de e em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia. Para uma função onde e são funções de , a derivada de em relação a é dada por:
Ou seja, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , e também as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Agora, vamos derivar e em relação a :

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia:
Vamos simplificar:

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte do exercício! A função é , onde e . Novamente, vamos usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de em relação a .

Passo 7

Relembrando a Regra da Cadeia:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 8

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 9

Agora, derivamos e em relação a :

Passo 10

Aplicando a Regra da Cadeia:
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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