(a) Show that y1 and y2 are linearly dependent on the interval 0 < t < 1.
(b) Show that y1 and y2 are linearly independent on the interval -1 < t < 1.
© Show that W[y1, y2](t) is identically zero.
(d) Show that y1 and y2 can never be two solutions of (3) on the interval -1 < t <1 if both p and q are continuous in this interval.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício que tem quatro partes (a, b, c e d) e todas envolvem funções chamadas e . O que eles querem é que a gente analise se essas funções são “linearmente dependentes” ou “linearmente independentes” em certos intervalos, calcular algo chamado “Wronskiano” dessas funções e verificar se elas podem ser soluções de uma equação diferencial dada algumas condições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é dependência linear, o Wronskiano e um pouco sobre equações diferenciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa e serem linearmente dependentes ou independentes. Basicamente, se uma das funções pode ser escrita como uma constante vezes a outra, elas são dependentes. Se não, são independentes.
Matematicamente, isso significa que existe uma constante tal que:
Se isso for possível, elas são dependentes; se não, independentes.

Passo 3

Agora, para a parte (a), que pede para mostrar que e são linearmente dependentes no intervalo .
Passo 1 da parte (a): Verificar se existe uma constante tal que no intervalo dado.
Se conseguirmos encontrar tal , então elas são dependentes. Caso contrário, não são.

Passo 4

Para a parte (b), que quer que a gente mostre que e são linearmente independentes no intervalo .
Passo 1 da parte (b): Mostrar que não existe uma constante que satisfaça em todo o intervalo.
Isso significa que as funções não podem ser expressas uma em termos da outra de forma constante, então são independentes.

Passo 5

A parte © quer que a gente calcule o Wronskiano dessas funções, denotado por , e mostrar que ele é identicamente zero.
Passo 1 da parte ©: O Wronskiano é uma maneira de verificar a independência linear das soluções de uma equação diferencial. Ele é calculado assim:
Vamos calcular esse determinante e ver se ele é sempre zero.

Passo 6

Finalmente, a parte (d) nos pede para mostrar que e não podem ser duas soluções da equação diferencial (presumivelmente dada como (3) no exercício) no intervalo , assumindo que tanto quanto são contínuos nesse intervalo.
Passo 1 da parte (d): Se o Wronskiano é zero e e são contínuos, isso implica que as soluções não são linearmente independentes, ou seja, não podem ser duas soluções distintas da equação diferencial no intervalo dado.

Resposta

Seguindo esses passos, mostramos que:
(a) e são linearmente dependentes no intervalo .
(b) e são linearmente independentes no intervalo .
© O Wronskiano é identicamente zero.
(d) Portanto, e não podem ser duas soluções da equação diferencial no intervalo se ambos e forem contínuos nesse intervalo.

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