Sejam
e
bases para
. Sejam também
e
.
d) Encontre os vetores de coordenadas de
e
em relação a
, diretamente.
d) Encontre os vetores de coordenadas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases
e
para o espaço
. Queremos encontrar as coordenadas dos vetores
e
em relação à base
. Vamos usar conceitos de bases e combinações lineares para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando queremos expressar um vetor em relação a uma base, estamos procurando coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base e somados, resultem no vetor original. Ou seja, para o vetor
, queremos encontrar números
e
tais que:
Isso se traduz em:
Que simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Já da primeira equação, temos diretamente que
. Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, as coordenadas de
em relação à base
são
.
Passo 4
Vamos repetir o mesmo processo para o vetor
. Queremos encontrar
e
tais que:
Isso resulta em:
Que simplifica para:
Passo 5
Resolvendo esse sistema, da primeira equação temos
. Substituindo na segunda equação:
Portanto, as coordenadas de
em relação à base
são
.
Resposta
As coordenadas dos vetores em relação à base
são: