Sejam S=(1,2),(0,1) e T=(1,1),(2,3) bases para R^2. Sejam também v=(1,5) e w=(5,4).
d) Encontre os vetores de coordenadas de v e w em relação a S, diretamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases e para o espaço . Queremos encontrar as coordenadas dos vetores e em relação à base . Vamos usar conceitos de bases e combinações lineares para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando queremos expressar um vetor em relação a uma base, estamos procurando coeficientes que, quando multiplicados pelos vetores da base e somados, resultem no vetor original. Ou seja, para o vetor v = a cdot (1,2) + b cdot (0,1) , queremos encontrar números (1,5) = (a cdot 1 + b cdot 0, a cdot 2 + b cdot 1) e 1 = a 5 = 2a + b tais que:
Isso se traduz em:
Que simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Já da primeira equação, temos diretamente que 5 = 2 cdot 1 + b 5 = 2 + b b = 5 - 2 b = 3 . Substituindo esse valor na segunda equação:
Então, as coordenadas de em relação à base são .

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para o vetor w = c cdot (1,2) + d cdot (0,1) . Queremos encontrar (5,4) = (c cdot 1 + d cdot 0, c cdot 2 + d cdot 1) e 5 = c 4 = 2c + d tais que:
Isso resulta em:
Que simplifica para:

Passo 5

Resolvendo esse sistema, da primeira equação temos 4 = 2 cdot 5 + d 4 = 10 + d d = 4 - 10 d = -6 . Substituindo na segunda equação:
Portanto, as coordenadas de em relação à base são .

Resposta

As coordenadas dos vetores em relação à base [v]S = 1 3 e [w]S = 5 -6 são:

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