Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
integral sen x cos x ln (sen x) d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos para resolver a integral:
integral sin x cos x ln (sin x) , dx
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ( e ), além de uma função logarítmica ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar duas técnicas: substituição e integração por partes. Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral antes de aplicar a integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com uma substituição para simplificar a expressão. Observamos que temos u = sin x e seu derivado, que é du = cos x , dx . Isso sugere que podemos escolher . Então, façamos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Isso significa que . Vamos substituir esses termos na integral original.

Passo 3

Substituindo integral sin x cos x ln (sin x) , dx = integral u ln u , du e na integral, temos:
Agora, nossa integral ficou mais simples: . Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integra��ão por partes.

Passo 4

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = ln u e dv = u , du e du = 1u , du e v = u^22 . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica ao derivar, e como o restante. No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral u ln u , du = uv - integral v , du
Substituindo = ln u cdot u^22 - integral u^22 cdot 1u , du , = u^22 ln u - 12 integral u , du , :
Simplificando a integral:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral integral u , du = u^22 + C :
= u^22 ln u - 12 cdot u^22 + C
Onde = u^22 ln u - u^24 + C é a constante de integração. Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 7

Agora, lembrando que fizemos a substituição = (sin x)^22 ln (sin x) - (sin x)^24 + C , vamos voltar para a vari��vel original = sin^2 x2 ln (sin x) - sin^2 x4 + C :
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos:

Resposta

A integral sin^2 x2 ln (sin x) - sin^2 x4 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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