Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos para resolver a integral:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas ( e ), além de uma função logarítmica ( ). Para resolver essa integral, vamos precisar usar duas técnicas: substituição e integração por partes. Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral antes de aplicar a integração por partes.

Passo 2

Vamos começar com uma substituição para simplificar a expressão. Observamos que temos e seu derivado, que é . Isso sugere que podemos escolher . Então, façamos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a :
Isso significa que . Vamos substituir esses termos na integral original.

Passo 3

Substituindo e na integral, temos:
Agora, nossa integral ficou mais simples: . Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integra��ão por partes.

Passo 4

A integração por partes é baseada na fórmula:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que simplifica ao derivar, e como o restante. No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos encontrar e :

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando a integral:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral :
Onde é a constante de integração. Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 7

Agora, lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para a vari��vel original :
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos:

Resposta

A integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo: