Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos para resolver a integral:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas (
e
), além de uma função logarítmica (
). Para resolver essa integral, vamos precisar usar duas técnicas: substituição e integração por partes. Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral antes de aplicar a integração por partes.
Passo 2
Vamos começar com uma substituição para simplificar a expressão. Observamos que temos
e seu derivado, que é
. Isso sugere que podemos escolher
. Então, façamos:
Agora, derivamos ambos os lados em relação a
:
Isso significa que
. Vamos substituir esses termos na integral original.
Passo 3
Substituindo
e
na integral, temos:
Agora, nossa integral ficou mais simples:
. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integra��ão por partes.
Passo 4
A integração por partes é baseada na fórmula:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que simplifica ao derivar, e
como o restante. No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos encontrar
e
:
Passo 5
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando a integral:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral
:
Onde
é a constante de integração. Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 7
Agora, lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a vari��vel original
:
Podemos simplificar um pouco mais combinando os termos:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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