Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Observando a função , podemos pensar em substituir o que está dentro da raiz. Vamos chamar .

Passo 3

Com , precisamos calcular a derivada de em relação a para fazer a substituição. A derivada de é:
Isso significa que , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de . Temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então .

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui, os se cancelam, simplificando a integral para uma em termos de .

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso facilita o processo de integração, pois agora temos potências de .

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
Usamos a regra da potência para integrar, onde .

Passo 8

Integrando cada termo:
Simplificamos os coeficientes multiplicando por .

Passo 9

Simplificando ainda mais, temos:

Passo 10

Agora, voltamos para a variável original , lembrando que :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

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Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais: