Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
integral x^3 raizx^2+1 d x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa integral: . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Observando a função , podemos pensar em substituir o que está dentro da raiz. Vamos chamar .

Passo 3

Com dudx = 2x , precisamos calcular a derivada de em relação a para fazer a substituição. A derivada de é:
Isso significa que , ou seja, .

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original em termos de integral x^3 raizx^2+1 , dx = integral x^3 raizu , dx . Temos:
Mas precisamos expressar em termos de . Sabemos que , então .

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral x(u - 1) raizu cdot du2x = 12 integral (u - 1) raizu , du
Aqui, os se cancelam, simplificando a integral para uma em termos de .

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
12 integral (u - 1) u^1/2 , du = 12 integral (u^3/2 - u^1/2) , du
Isso facilita o processo de integração, pois agora temos potências de .

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
12 ( integral u^3/2 , du - integral u^1/2 , du )
Usamos a regra da potência para integrar, onde .

Passo 8

Integrando cada termo:
12 ( u^5/25/2 - u^3/23/2 ) = 12 ( 25u^5/2 - 23u^3/2 )
Simplificamos os coeficientes multiplicando por .

Passo 9

Simplificando ainda mais, temos:
210u^5/2 - 26u^3/2 = 15u^5/2 - 13u^3/2

Passo 10

Agora, voltamos para a variável original 15(x^2+1)^5/2 - 13(x^2+1)^3/2 + C , lembrando que :
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 15(x^2+1)^5/2 - 13(x^2+1)^3/2 + C é igual a:

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