Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver essa integral:
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil. Observando a função
, podemos pensar em substituir o que está dentro da raiz. Vamos chamar
.
Passo 3
Com
, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para fazer a substituição. A derivada de
é:
Isso significa que
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral original em termos de
. Temos:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Sabemos que
, então
.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Aqui, os
se cancelam, simplificando a integral para uma em termos de
.
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Isso facilita o processo de integração, pois agora temos potências de
.
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Usamos a regra da potência para integrar, onde
.
Passo 8
Integrando cada termo:
Simplificamos os coeficientes multiplicando por
.
Passo 9
Simplificando ainda mais, temos:
Passo 10
Agora, voltamos para a variável original
, lembrando que
:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
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Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais: