Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
integral(x^2-3 x+1) e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é uma integral que envolve um polinômio e uma função exponencial: integral(x^2-3 x+1) e^-x dx. Vamos usar integração por partes, que é uma técnica útil para integrar produtos de funções. Para isso, precisamos escolher quais partes da expressão vão ser u e dv na fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos escolher:
  • u = x^2 - 3x + 1 (porque a derivada de um polinômio vai simplificar)
  • dv = e^-x dx
Agora, vamos calcular du e v:
  • du = ddx(x^2 - 3x + 1) dx = (2x - 3) dx
  • v = integral e^-x dx = -e^-x
Aplicando na fórmula de integração por partes:
integral(x^2-3 x+1) e^-x dx = uv - integral v , du = (x^2 - 3x + 1)(-e^-x) - integral (-e^-x)(2x - 3) dx = -(x^2 - 3x + 1)e^-x + integral (2x - 3)e^-x dx

Passo 3

Agora, precisamos resolver a nova integral integral (2x - 3)e^-x dx usando novamente integração por partes. Vamos escolher:
  • u = 2x - 3
  • dv = e^-x dx
Calculando du e v:
  • du = 2 dx
  • v = -e^-x
Aplicando na fórmula:
integral (2x - 3)e^-x dx = uv - integral v , du = (2x - 3)(-e^-x) - integral (-e^-x)(2) dx = -(2x - 3)e^-x + 2integral e^-x dx = -(2x - 3)e^-x - 2e^-x + C
Agora, substituímos essa expressão na equação anterior:
integral(x^2-3 x+1) e^-x dx = -(x^2 - 3x + 1)e^-x + [-(2x - 3)e^-x - 2e^-x] + C = -x^2e^-x + 3x e^-x - e^-x - 2x e^-x + 3e^-x - 2e^-x + C = -x^2e^-x + (3x - 2x)e^-x + (-1 + 3 - 2)e^-x + C = -x^2e^-x + x e^-x + 0e^-x + C = (-x^2 + x)e^-x + C

Resposta

A integral integral(x^2-3 x+1) e^-x dx é igual a (-x^2 + x)e^-x + C, onde C é a constante de integração.

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