Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais. Esse teorema ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e integrar funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o
da fração:
. A gente tenta fatorar isso, mas percebe que não é fatorável com números reais porque o discriminante
é negativo. Isso significa que não tem raízes reais, então a fração já está na forma mais simples possível para frações parciais.
Passo 3
Como não podemos decompor a fração em partes mais simples, vamos resolver a integral de outra maneira. Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração.
Completo o quadrado de
:
Passo 4
Agora, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora, separamos a fração em duas partes:
Vamos integrar cada parte separadamente.
Passo 6
Para a primeira integral:
Fazemos a substituição
, então
. A integral fica:
Passo 7
Para a segunda integral:
Reconhecemos que é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente. Sabemos que:
Aqui,
, então
. Aplicando isso:
Passo 8
Juntando as duas partes integradas:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando o primeiro termo:
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.
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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo: