Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais. Esse teorema ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o da fração: . A gente tenta fatorar isso, mas percebe que não é fatorável com números reais porque o discriminante é negativo. Isso significa que não tem raízes reais, então a fração já está na forma mais simples possível para frações parciais.

Passo 3

Como não podemos decompor a fração em partes mais simples, vamos resolver a integral de outra maneira. Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração.
Completo o quadrado de :

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
ã
Substituindo na integral:

Passo 5

Agora, separamos a fração em duas partes:
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 6

Para a primeira integral:
Fazemos a substituição , então . A integral fica:

Passo 7

Para a segunda integral:
Reconhecemos que é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente. Sabemos que:
Aqui, , então . Aplicando isso:

Passo 8

Juntando as duas partes integradas:
Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando o primeiro termo:

Resposta

A integral é igual a
onde é a constante de integração.

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Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular as integrais:
Utilize integração por partes para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
Utilize substituição para calcular as integrais abaixo: