Utilize o Teorema de Decomposição em fraçõs parciais para calcular as integrais abaixo:
integral 2 x+3x^2+8 x+25 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando o Teorema de Decomposição em Frações Parciais. Esse teorema ajuda a quebrar frações complicadas em partes mais simples que são mais fáceis de integrar. Para isso, vamos precisar entender como decompor frações e integrar funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o da fração: . A gente tenta fatorar isso, mas percebe que não é fatorável com números reais porque o discriminante é negativo. Isso significa que não tem raízes reais, então a fração já está na forma mais simples possível para frações parciais.

Passo 3

Como não podemos decompor a fração em partes mais simples, vamos resolver a integral de outra maneira. Vamos completar o quadrado no denominador para facilitar a integração.
Completo o quadrado de x^2 + 8x + 25 = (x + 4)^2 + 9 :

Passo 4

Agora, fazemos uma substituição para simplificar a expressão. Vamos definir:
u = x + 4 então du = dx ã
Substituindo na integral:
integral 2x + 3x^2 + 8x + 25 , dx = integral 2(u - 4) + 3u^2 + 9 , du = integral 2u - 5u^2 + 9 , du

Passo 5

Agora, separamos a fração em duas partes:
integral 2uu^2 + 9 , du - integral 5u^2 + 9 , du
Vamos integrar cada parte separadamente.

Passo 6

Para a primeira integral:
integral 2uu^2 + 9 , du
Fazemos a substituição integral 1v , dv = ln|v| + C = ln(u^2 + 9) + C , então . A integral fica:

Passo 7

Para a segunda integral:
integral 5u^2 + 9 , du
Reconhecemos que é uma forma padrão que resulta em uma função arco-tangente. Sabemos que:
integral 1u^2 + a^2 , du = 1a tan^-1( ua ) + C
Aqui, 5 cdot 13 tan^-1( u3 ) = 53 tan^-1( u3 ) + C , então . Aplicando isso:

Passo 8

Juntando as duas partes integradas:
ln(u^2 + 9) - 53 tan^-1( u3 ) + C
Lembrando que ln((x + 4)^2 + 9) - 53 tan^-1( x + 43 ) + C , substituímos de volta:
(x + 4)^2 + 9 = x^2 + 8x + 25
Simplificando o primeiro termo:

Resposta

A integral ln(x^2 + 8x + 25) - 53 tan^-1( x + 43 ) + C é igual a
onde é a constante de integração.

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