Utilize substituição para calcular as integrais abaixo:
integral 3 x(2 x+5)^2014 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando o método de substituição para simplificar integrais. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma variável mais simples, calcular o diferencial correspondente e reescrever a integral de forma mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a função dentro da potência, u = 2x + 5 parece ser um bom candidato para substituir por . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial dudx = 2 Rightarrow du = 2 , dx Rightarrow dx = du2 em termos de . Diferenciando ambos os lados da equação acima em relação a , temos:

Passo 4

Também precisamos expressar x = u - 52 em termos de para substituir na integral. A partir de , resolvemos para :

Passo 5

Agora vamos substituir integral 3x(2x+5)^2014 , dx = integral 3 ( u - 52 ) u^2014 ( du2 ) e na integral original usando as expressões que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar os coeficientes:
3 times 12 times 12 = 34
Então, a integral fica:
34 integral (u - 5)u^2014 , du

Passo 7

Distribuindo (u - 5)u^2014 = u^2015 - 5u^2014 dentro do parêntese:
34 integral (u^2015 - 5u^2014) , du
Assim, a integral se torna:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral u^2015 , du = u^20162016 e integral u^2014 , du = u^20152015
Portanto:
34 ( u^20162016 - 5 times u^20152015 ) + C
onde é a constante de integração.

Passo 9

Por fim, vamos substituir 34 ( (2x + 5)^20162016 - 5(2x + 5)^20152015 ) + C de volta por 38064(2x + 5)^2016 - 158060(2x + 5)^2015 + C :
Podemos simplificar os coeficientes:

Resposta

A integral calculada é:
38064(2x + 5)^2016 - 158060(2x + 5)^2015 + C

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