Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que resolver a integral . Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo: uma substituição e, em seguida, a integração por partes. A substituição nos ajuda a simplificar a integral, e a integração por partes é uma técnica útil para integrar produtos de funções.
Passo 2
Vamos começar fazendo uma substituição. Observamos que a derivada de é , mas temos na nossa integral. Podemos reescrever usando a identidade trigonométrica . Assim, a integral fica:
Simplificando:
Passo 3
Agora, fazemos a substituição. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é:
Rearranjando para :
Passo 4
Substituímos na integral:
Mas, lembre-se que , então . Substituindo novamente:
Passo 5
Agora, temos a integral . Para resolver isso, usamos a técnica de integração por partes, que segue a fórmula:
Vamos escolher:
(a função que simplifica ao derivar)
(a parte que é fácil de integrar)
Então, calculamos e :
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à nossa integral original:
Agora, substituímos :
Podemos fatorar :
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.