Resolva pelo método dos coeficientes a determinar.
Resp. X=c1[l1 1 0] e^-t+c2[c-1 1 0] e^t+c3[l0 0 1] e^t+e^2 t[c23 -13 0]+sent[l12 0 0]+cos t[c0 -12 0]+t[c0 0 -1]+[c0 0 -1].
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação diferencial do tipo sistema linear de equações diferenciais. O objetivo é encontrar a solução geral da equação:
X' = 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 X + e^2t sin t t
Aqui, é um vetor de funções que dependem do tempo , e precisamos resolver isso usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar usar álgebra linear para tratar a parte homogênea e, depois, achar uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
X' = A X
onde 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 .
Para resolver essa parte, precisamos encontrar os autovalores e autovetores da matriz . Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante .
Calculando, encontramos que os autovalores são , , e .
Com esses autovalores, encontramos os autovetores correspondentes. Vamos chamar esses autovetores de , e .
Passo 3
Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral da parte homogênea:
Xh = c1 v1 e^lambda1 t + c2 v2 e^lambda2 t + c3 v3 e^lambda3 t
Substituindo os valores que encontramos:
Xh = c1 1 1 0 e^-t + c2 -1 1 0 e^t + c3 0 0 1 e^t
Aqui, , e são constantes que determinamos pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos resolver a parte não homogênea da equação:
X' = A X + F
onde e^2t sin t t .
Usamos o método dos coeficientes a determinar, que consiste em assumir que a solução particular Xp = e^2t a b c + sin t d e f + cos t g h i + t j k l tem a mesma forma dos termos de . Então, vamos supor:
Vamos derivar e substituir na equação original para encontrar os coeficientes .
Passo 5
Depois de substituir Xp = e^2t 23 -13 0 + sin t 12 0 0 + cos t 0 -12 0 + t 0 0 -1 + 0 0 -1 e suas derivadas na equação , igualamos os coeficientes dos termos semelhantes para resolver o sistema de equações e encontrar os valores de .
Após resolver esse sistema, encontramos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
X = c11 1 0 e^-t + c2-1 1 0 e^t + c30 0 1 e^t + e^2t23 -13 0 + sin t 12 0 0 + cos t 0 -12 0 + t 0 0 -1 + 0 0 -1