O primeiro termo de uma P.G. é 5 raiz2, a razão é raiz2 e o último termo é 80 . Calcule: Quantos termos têm essa P.G.;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Progressão Geométrica (P.G.) onde o primeiro termo é , a razão é e o último termo é 80. Precisamos descobrir quantos termos existem nessa P.G. Para resolver isso, vamos lembrar das fórmulas da P.G. e utilizar o termo geral para encontrar o número de termos.

Passo 2

Vamos lembrar que, em uma P.G., o an = a1 cdot r^n-1 -ésimo termo ( ) é dado pela fórmula:
Aqui, é o primeiro termo, é a razão, e é o último termo. Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 3

Substituímos os valores conhecidos na fórmula do termo geral:
80 = 5 raiz2 cdot (raiz2)^n-1
Vamos simplificar a expressão.

Passo 4

Dividimos ambos os lados da equação por 805 raiz2 = (raiz2)^n-1 :
805 raiz2 = 16raiz2 = 16 cdot raiz22 = 8 raiz2
Simplificando a fração:
8 raiz2 = (raiz2)^n-1
Então:

Passo 5

Observamos que 8 raiz2 = 2^3 cdot 2^1/2 = 2^3 + 1/2 = 2^7/2 pode ser reescrito em termos de potências de (raiz2)^n-1 = (2^1/2)^n-1 = 2^(n-1)/2 . Sabemos que e , então:
E também pode ser escrito como , então:

Passo 6

Agora, temos:
2^7/2 = 2^(n-1)/2
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
72 = n - 12
Multiplicando ambos os lados por 2:
7 = n - 1

Resposta

Portanto, a P.G. possui 8 termos.

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