O primeiro termo de uma P.G. é , a razão é e o último termo é 80 . Calcule: Quantos termos têm essa P.G.;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma Progressão Geométrica (P.G.) onde o primeiro termo é , a razão é e o último termo é 80. Precisamos descobrir quantos termos existem nessa P.G. Para resolver isso, vamos lembrar das fórmulas da P.G. e utilizar o termo geral para encontrar o número de termos.

Passo 2

Vamos lembrar que, em uma P.G., o -ésimo termo ( ) é dado pela fórmula:
Aqui, é o primeiro termo, é a razão, e é o último termo. Nosso objetivo é encontrar o valor de .

Passo 3

Substituímos os valores conhecidos na fórmula do termo geral:
Vamos simplificar a expressão.

Passo 4

Dividimos ambos os lados da equação por :
Simplificando a fração:
Então:

Passo 5

Observamos que pode ser reescrito em termos de potências de . Sabemos que e , então:
E também pode ser escrito como , então:

Passo 6

Agora, temos:
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Resposta

Portanto, a P.G. possui 8 termos.

Exercícios relacionados

Escreva o termo seguinte de cada uma das progressões geométricas:
A função , definida nos números reais, possui ponto de mínimo de coordenadas:
Considere a função definida por . Marque a opção que expressa o valor de :
Resolva a equação . O conjunto solução de todos os valores reais é: