Resolva a equação
. O conjunto solução de todos os valores reais é:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver essa equação juntos:
. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, que são usadas para resolver equações envolvendo potências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e aplicar álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar. Temos
do lado esquerdo. Sabemos que multiplicar o logaritmo por um número é o mesmo que elevar o argumento a esse número. Então:
Agora nossa equação fica:
Passo 3
Vamos mover o 1 para o lado esquerdo da equação. Mas como o 1 está somando um logaritmo, precisamos lembrar que 1 pode ser escrito como
, já que
. Então:
Passo 4
Usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, vamos combinar os dois logaritmos do lado esquerdo:
Passo 5
Agora que temos logaritmos iguais em ambos os lados da equação, podemos igualar seus argumentos:
Passo 6
Vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 10 para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 8
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde,
,
, e
. Substituindo:
Passo 9
Isso nos dá duas soluções:
Passo 10
Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto dos logaritmos. O logaritmo está definido apenas para números positivos. Então:
- Para
: e são válidos. - Para
: não é válido.
Então, descartamos
.
Resposta
O conjunto solução é
.
Observação
Apesar do enunciado mencionar que a solução é
, seguindo os passos acima, a solução correta é
. Recomendo verificar o enunciado ou refazer os cálculos para garantir a precisão.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
. Marque a opção que expressa o valor de
:
O primeiro termo de uma P.G. é
, a razão é
e o último termo é 80 . Calcule: Quantos termos têm essa P.G.;
Suponha que
. Determine:
Considere a função
definida por
. Marque a opção que expressa o valor de
: