Resolva a equação 2 log 10 x=1+log 10(x+1110). O conjunto solução de todos os valores reais é: 6

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa equação juntos: 2 log 10 x = 1 + log 10(x + 1110). Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas, que são usadas para resolver equações envolvendo potências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades dos logaritmos e aplicar álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar. Temos 2 log10 x do lado esquerdo. Sabemos que multiplicar o logaritmo por um número é o mesmo que elevar o argumento a esse número. Então:
2 log10 x = log10 x^2
Agora nossa equação fica:
log10 x^2 = 1 + log10(x + 1110)

Passo 3

Vamos mover o 1 para o lado esquerdo da equação. Mas como o 1 está somando um logaritmo, precisamos lembrar que 1 pode ser escrito como log10 10, já que 10^1 = 10. Então:
log10 x^2 - log10 10 = log10(x + 1110)

Passo 4

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que loga b - loga c = loga ( bc ), vamos combinar os dois logaritmos do lado esquerdo:
log10 ( x^210 ) = log10(x + 1110)

Passo 5

Agora que temos logaritmos iguais em ambos os lados da equação, podemos igualar seus argumentos:
x^210 = x + 1110

Passo 6

Vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 10 para simplificar:
x^2 = 10x + 11

Passo 7

Agora, vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática padrão:
x^2 - 10x - 11 = 0

Passo 8

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde, a = 1, b = -10, e c = -11. Substituindo:
x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot (-11)2 cdot 1 x = 10 pm raiz100 + 442 x = 10 pm raiz1442 x = 10 pm 122

Passo 9

Isso nos dá duas soluções:
  1. x = 10 + 122 = 222 = 11
  2. x = 10 - 122 = -22 = -1

Passo 10

Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto dos logaritmos. O logaritmo está definido apenas para números positivos. Então:
  • Para x = 11: log10 11 e log10(11 + 1110) são válidos.
  • Para x = -1: log10 (-1) não é válido.
Então, descartamos x = -1.

Resposta

O conjunto solução é 11.

Observação

Apesar do enunciado mencionar que a solução é 6, seguindo os passos acima, a solução correta é 11. Recomendo verificar o enunciado ou refazer os cálculos para garantir a precisão.

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