Se (4x - 2) / (x^3 - 4x) = A/x + B/(x - 2) + C/(x + 2) para todo x tal que x != 0, x != 2 e x != -2, então A + B + C = 0.

Passo 1

Vamos entender o enunciado. Temos a expressão que é igual a . Nosso objetivo é descobrir a soma .
Para resolver isso, vamos usar a técnica de frações parciais, que permite decompor expressões racionais em somas de frações mais simples. Precisaremos identificar os valores de , e para então somá-los.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da expressão original:
Assim, a expressão fica:

Passo 3

Para encontrar , e , vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum :

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos do lado direito:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, comparamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:

Passo 6

Nossa principal preocupação é encontrar , que já identificamos ser igual a 0 na comparação dos coeficientes de .

Resposta

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