Prob. 11 (Halliday): Determine a corrente em um fio de raio R=3,4 mm se o módulo da densidade de corrente é dado por (a) Ja=J0 r / R e (b) Jb=J0(1-r / R), onde r é a distância radial e J0=5,5 times 10^4 A / m^2. © Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?
Adicional: (d) Se o fio for feito de ouro (com massa específica 19,32 g / cm^3 ) encontre a velocidade de deriva dos portadores de carga nas distâncias radiais de R / 4 e R / 2. Suponha que cada átomo de ouro contribui para a corrente com um elétron de condução.
R. (d) vd a(R / 4)=1,453 times 10^-6 ms ; vd a(R / 2)=2,906 times 10^-6 ms ; vd b(R / 4)=4,359 times 10^-6 ms e vd b(R / 2)=2,906 times 10^-6 ms.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em um fio com raio . A gente vai trabalhar com duas funções que descrevem como a densidade de corrente varia com a distância radial dentro do fio. O objetivo é calcular a corrente total para cada caso, comparar qual delas tem uma densidade maior perto da superfície e, depois, calcular a velocidade de deriva dos elétrons no ouro. Vamos precisar usar conceitos de integração e entender um pouquinho sobre densidade de corrente e velocidade de deriva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente I = integral0^R J(r) cdot 2pi r , dr nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total , a gente integra sobre a área transversal do fio. No caso de um fio cilíndrico, a área diferencial em coordenadas polares é .
Então, a fórmula para a corrente total é:

Passo 3

Vamos calcular a corrente para o caso (a), onde a densidade de corrente é Ia = integral0^R J0 rR cdot 2pi r , dr = 2pi J0 1R integral0^R r^2 , dr .
Substituindo na fórmula:
integral0^R r^2 , dr = [ r^33 ]0^R = R^33
Calculando a integral:
Ia = 2pi J0 1R cdot R^33 = 2pi J0 R^23
Então:

Passo 4

Agora, vamos para o caso (b), onde a densidade de corrente é Ib = integral0^R J0 (1 - rR) cdot 2pi r , dr = 2pi J0 integral0^R ( r - r^2R ) dr .
Substituindo na fórmula da corrente:
Ib = 2pi J0 ( integral0^R r , dr - 1R integral0^R r^2 , dr )
Vamos separar as integrais:
integral0^R r , dr = [ r^22 ]0^R = R^22
Calculando as integrais:
integral0^R r^2 , dr = R^33
Ib = 2pi J0 ( R^22 - 1R cdot R^33 ) = 2pi J0 ( R^22 - R^23 )
Substituindo de volta:
Ib = 2pi J0 ( 3R^2 - 2R^26 ) = 2pi J0 cdot R^26 = pi J0 R^23
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos comparar as correntes obtidas nos casos (a) e (b):
Ia = 2pi J0 R^23, Ib = pi J0 R^23
Observamos que , ou seja, a corrente no caso (a) é o dobro da corrente no caso (b).

Passo 6

Vamos responder a parte ©: Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?
Olha só, “perto da superfície” significa que Ja = J0 rR quando r approx R, Ja approx J0 está próximo de Jb = J0 (1 - rR) quando r approx R, Jb approx J0 (1 - 1) = 0 . Vamos avaliar e quando se aproxima de :
Para :
Para :
Então, perto da superfície, é e é praticamente zero. Portanto, a densidade de corrente perto da superfície é maior no caso (a).

Passo 7

Vamos para a parte adicional (d). Queremos encontrar a velocidade de deriva I = n e A vd dos elétrons em duas distâncias radiais: n = rho NAM e n = 19,32 times 10^3 , kg/m^3 times 6,022 times 10^23 , átomos/mol0,19697 , kg/mol approx 5,89 times 10^28 , elétrons/m^3 . Sabemos que:
onde:
  • é a densidade de portadores de carga (elétrons por volume),
  • é a carga do elétron ( ),
  • é a área pela qual a corrente passa,
  • é a velocidade de deriva.
Primeiro, precisamos achar , a densidade de elétrons no ouro.
A massa específica do ouro é .
A massa molar do ouro é .
O número de Avogadro é á.
Considerando que cada átomo contribui com um elétron:
Calculando:
áé

Passo 8

Agora, vamos calcular J = n e vd para as densidades de corrente vd = Jn e e Ja = J0 R/4R = J04 nas posições vd,a(R/4) = J0 / 4n e = 5,5 times 10^44 times 5,89 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 approx 1,453 times 10^-6 , m/s e Ja = J0 R/2R = J02 .
Lembrando que:
vd,a(R/2) = J0 / 2n e = 5,5 times 10^42 times 5,89 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 approx 2,906 times 10^-6 , m/s
Então:
Primeiro, para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Agora, para Jb = J0 (1 - R/4R) = J0 (1 - 14) = 3J04 :
  • Para vd,b(R/4) = 3J0 / 4n e = 3 times 5,5 times 10^44 times 5,89 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 approx 4,359 times 10^-6 , m/s :
Jb = J0 (1 - R/2R) = J0 (1 - 12) = J02
vd,b(R/2) = J0 / 2n e = 5,5 times 10^42 times 5,89 times 10^28 times 1,6 times 10^-19 approx 2,906 times 10^-6 , m/s
  • Para :

Resposta

A corrente total no fio para:
(a)
(b)
© A densidade de corrente perto da superfície do fio é maior para a função .
(d) As velocidades de deriva dos portadores de carga são:
  • Para :
  • Para :

Exercícios relacionados