Prob. 11 (Halliday): Determine a corrente em um fio de raio
se o módulo da densidade de corrente é dado por (a)
e (b)
, onde
é a distância radial e
. © Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?
Adicional: (d) Se o fio for feito de ouro (com massa específica
) encontre a velocidade de deriva dos portadores de carga nas distâncias radiais de
e
. Suponha que cada átomo de ouro contribui para a corrente com um elétron de condução.
. (d)
.
Adicional: (d) Se o fio for feito de ouro (com massa específica
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em um fio com raio
. A gente vai trabalhar com duas funções que descrevem como a densidade de corrente
varia com a distância radial
dentro do fio. O objetivo é calcular a corrente total para cada caso, comparar qual delas tem uma densidade maior perto da superfície e, depois, calcular a velocidade de deriva dos elétrons no ouro. Vamos precisar usar conceitos de integração e entender um pouquinho sobre densidade de corrente e velocidade de deriva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente
nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total
, a gente integra
sobre a área transversal do fio. No caso de um fio cilíndrico, a área diferencial
em coordenadas polares é
.
Então, a fórmula para a corrente total é:
Passo 3
Vamos calcular a corrente para o caso (a), onde a densidade de corrente é
.
Substituindo na fórmula:
Calculando a integral:
Então:
Passo 4
Agora, vamos para o caso (b), onde a densidade de corrente é
.
Substituindo na fórmula da corrente:
Vamos separar as integrais:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos comparar as correntes obtidas nos casos (a) e (b):
Observamos que
, ou seja, a corrente no caso (a) é o dobro da corrente no caso (b).
Passo 6
Vamos responder a parte ©: Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?
Olha só, “perto da superfície” significa que
está próximo de
. Vamos avaliar
e
quando
se aproxima de
:
Para
:
Para
:
Então, perto da superfície,
é
e
é praticamente zero. Portanto, a densidade de corrente perto da superfície é maior no caso (a).
Passo 7
Vamos para a parte adicional (d). Queremos encontrar a velocidade de deriva
dos elétrons em duas distâncias radiais:
e
. Sabemos que:
onde:
-
é a densidade de portadores de carga (elétrons por volume), -
é a carga do elétron ( ), -
é a área pela qual a corrente passa, -
é a velocidade de deriva.
Primeiro, precisamos achar
, a densidade de elétrons no ouro.
A massa específica do ouro é
.
A massa molar do ouro é
.
O número de Avogadro é
.
Considerando que cada átomo contribui com um elétron:
Calculando:
Passo 8
Agora, vamos calcular
para as densidades de corrente
e
nas posições
e
.
Lembrando que:
Então:
Primeiro, para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Agora, para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A corrente total no fio para:
(a)
(b)
© A densidade de corrente perto da superfície do fio é maior para a função
.
(d) As velocidades de deriva dos portadores de carga são:
-
Para
: -
-
Para
: -
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(a) 1
(b)
©
(d) 3
(e) 9
(a) 1
(b)
©
(d) 3
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