Prob. 11 (Halliday): Determine a corrente em um fio de raio se o módulo da densidade de corrente é dado por (a) e (b) , onde é a distância radial e . © Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?
Adicional: (d) Se o fio for feito de ouro (com massa específica ) encontre a velocidade de deriva dos portadores de carga nas distâncias radiais de e . Suponha que cada átomo de ouro contribui para a corrente com um elétron de condução.
. (d) .

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício sobre corrente elétrica em um fio com raio . A gente vai trabalhar com duas funções que descrevem como a densidade de corrente varia com a distância radial dentro do fio. O objetivo é calcular a corrente total para cada caso, comparar qual delas tem uma densidade maior perto da superfície e, depois, calcular a velocidade de deriva dos elétrons no ouro. Vamos precisar usar conceitos de integração e entender um pouquinho sobre densidade de corrente e velocidade de deriva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade de corrente nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para encontrar a corrente total , a gente integra sobre a área transversal do fio. No caso de um fio cilíndrico, a área diferencial em coordenadas polares é .
Então, a fórmula para a corrente total é:

Passo 3

Vamos calcular a corrente para o caso (a), onde a densidade de corrente é .
Substituindo na fórmula:
Calculando a integral:
Então:

Passo 4

Agora, vamos para o caso (b), onde a densidade de corrente é .
Substituindo na fórmula da corrente:
Vamos separar as integrais:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos comparar as correntes obtidas nos casos (a) e (b):
Observamos que , ou seja, a corrente no caso (a) é o dobro da corrente no caso (b).

Passo 6

Vamos responder a parte ©: Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior?
Olha só, “perto da superfície” significa que está próximo de . Vamos avaliar e quando se aproxima de :
Para :
Para :
Então, perto da superfície, é e é praticamente zero. Portanto, a densidade de corrente perto da superfície é maior no caso (a).

Passo 7

Vamos para a parte adicional (d). Queremos encontrar a velocidade de deriva dos elétrons em duas distâncias radiais: e . Sabemos que:
onde:
  • é a densidade de portadores de carga (elétrons por volume),
  • é a carga do elétron ( ),
  • é a área pela qual a corrente passa,
  • é a velocidade de deriva.
Primeiro, precisamos achar , a densidade de elétrons no ouro.
A massa específica do ouro é .
A massa molar do ouro é .
O número de Avogadro é á.
Considerando que cada átomo contribui com um elétron:
Calculando:
áé

Passo 8

Agora, vamos calcular para as densidades de corrente e nas posições e .
Lembrando que:
Então:
Primeiro, para :
  • Para :
  • Para :

Passo 9

Agora, para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A corrente total no fio para:
(a)
(b)
© A densidade de corrente perto da superfície do fio é maior para a função .
(d) As velocidades de deriva dos portadores de carga são:
  • Para :
  • Para :

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(b)
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