A probabilidade de um indivíduo da classe A comprar um notebook é 3/4, da classe B, é 1/5, e da classe C, é 1/20. As probabilidades de os indivíduos de cada classe comprarem um notebook da marca Y são 1/10, 3/5 e 3/10, respectivamente. Certa loja vendeu um notebook da marca Y. Qual é a probabilidade de que o indivíduo que comprou o notebook seja da classe B?
a) 1/7
b) 1/4
c) 1/2
d) 4/7
e) 6/7

Passo 1

Vamos dar uma olhada no problema. A gente sabe que há três classes de indivíduos: A, B e C. Cada classe tem uma certa probabilidade de comprar um notebook, e dentro dessas compras, há probabilidades específicas de escolherem a marca Y. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de que a pessoa que comprou o notebook da marca Y seja da classe B. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a encontrar probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as probabilidades que temos:
  • Probabilidade de comprar um notebook:
    • Classe A: $ P(A) = \frac{3}{4} $
    • Classe B: $ P(B) = \frac{1}{5} $
    • Classe C: $ P© = \frac{1}{20} $
  • Probabilidade de comprar um notebook da marca Y, dado a classe:
    • Classe A: $ P(Y|A) = \frac{1}{10} $
    • Classe B: $ P(Y|B) = \frac{3}{5} $
    • Classe C: $ P(Y|C) = \frac{3}{10} $

Passo 3

Agora, vamos encontrar a probabilidade total de alguém comprar um notebook da marca Y. Isso é feito somando as probabilidades de cada classe comprar um notebook da marca Y:
P(Y) = P(A) times P(Y|A) + P(B) times P(Y|B) + P(C) times P(Y|C)
Substituindo os valores:
P(Y) = (34) times (110) + (15) times (35) + (120) times (310)

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
(34) times (110) = 340
(15) times (35) = 325
(120) times (310) = 3200
Somando tudo:
P(Y) = 340 + 325 + 3200
Para somar frações, precisamos de denominadores iguais. O menor múltiplo comum de 40, 25 e 200 é 200.
Convertendo as frações:
340 = 15200, 325 = 24200, 3200 = 3200
P(Y) = 15200 + 24200 + 3200 = 42200 = 21100

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar $ P(B|Y) $, a probabilidade de que a pessoa seja da classe B dado que comprou o notebook da marca Y:
P(B|Y)
Substituindo os valores:
P(B|Y) = P(B) times P(Y|B)P(Y)

Resposta

A probabilidade é $ \frac{4}{7} $.

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