Probar que los siguientes límites no existen:
lim (x, y) (0,0) x y+x^3+y^3x^2+y^2=

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que o limite abaixo não existe:
lim (x, y) (0,0) xy + x^3 + y^3x^2 + y^2
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.

Passo 2

Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de x cdot 0 + x^3 + 0^3x^2 + 0^2 = x^3x^2 = x e calcular o limite em cada caso.
Caminho 1: limx to 0 x = 0
Substituindo x cdot x + x^3 + x^3x^2 + x^2 = x^2 + 2x^32x^2 = x^2(1 + 2x)2x^2 = 1 + 2x2 na função:
limx to 0 1 + 2x2 = 1 + 02 = 12
Agora, calculamos o limite quando :
Caminho 2:
Substituindo na função:
Agora, calculamos o limite quando :

Passo 3

Comparando os resultados dos dois caminhos:
  • Pelo Caminho 1, o limite é 0.
  • Pelo Caminho 2, o limite é .
Como os valores dos limites são diferentes, isso significa que o limite geral não está bem definido e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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