Probar que los siguientes límites no existen:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que provar que o limite abaixo não existe:
Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, precisamos verificar se o valor do limite é o mesmo quando nos aproximamos do ponto
por diferentes caminhos. Se encontrarmos pelo menos dois caminhos que dão resultados diferentes, podemos concluir que o limite não existe.
Passo 2
Vamos escolher dois caminhos diferentes para nos aproximarmos de
e calcular o limite em cada caso.
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Agora, calculamos o limite quando
:
Passo 3
Comparando os resultados dos dois caminhos:
- Pelo Caminho 1, o limite é 0.
- Pelo Caminho 2, o limite é
.
Como os valores dos limites são diferentes, isso significa que o limite geral não está bem definido e, portanto, não existe.
Resposta
O limite
não existe.