Probar que los siguientes límites no existen:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite de uma função de duas variáveis e precisa provar que ele não existe. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis. A gente precisa verificar se, ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos, o valor do limite muda. Se os valores variam dependendo do caminho, isso mostra que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para entender melhor:
Não dá para simplificar muito mais, então vamos partir para testar diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos escolher o caminho onde . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar pelo eixo , o limite tende a -1.

Passo 4

Agora, vamos escolher o caminho onde . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, esse limite tende a 0.

Passo 5

Observamos que ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: -1 pelo eixo e 0 pela linha .
Como os limites dependem do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.

Exercícios relacionados

Sejam os pontos e .
Determine de tal maneira que A, B e D forme um triangulo retangulo, com angulo reto em A .
Probar que los siguientes límites no existen: