Probar que los siguientes límites no existen:
lim (x, y) (0,0) x y-x+yx+y=

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um limite de uma função de duas variáveis e precisa provar que ele não existe. O enunciado é:
lim (x, y) (0,0) x y - x + yx + y
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis. A gente precisa verificar se, ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos, o valor do limite muda. Se os valores variam dependendo do caminho, isso mostra que o limite não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para entender melhor:
xy - x + yx + y = x(y - 1) + yx + y
Não dá para simplificar muito mais, então vamos partir para testar diferentes caminhos.

Passo 3

Vamos escolher o caminho onde x(0) - x + 0x + 0 = -x x = -1 . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar pelo eixo , o limite tende a -1.

Passo 4

Agora, vamos escolher o caminho onde x(x) - x + xx + x = x^2 - x + x2x = x^22x = x2 . Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, esse limite tende a 0.

Passo 5

Observamos que ao se aproximar do ponto por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: -1 pelo eixo e 0 pela linha .
Como os limites dependem do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.

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