Probar que los siguientes límites no existen:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um limite de uma função de duas variáveis e precisa provar que ele não existe. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de várias variáveis. A gente precisa verificar se, ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos, o valor do limite muda. Se os valores variam dependendo do caminho, isso mostra que o limite não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão para entender melhor:
Não dá para simplificar muito mais, então vamos partir para testar diferentes caminhos.
Passo 3
Vamos escolher o caminho onde
. Substituindo na função:
Então, ao se aproximar pelo eixo
, o limite tende a -1.
Passo 4
Agora, vamos escolher o caminho onde
. Substituindo na função:
À medida que
se aproxima de 0, esse limite tende a 0.
Passo 5
Observamos que ao se aproximar do ponto
por diferentes caminhos, obtemos limites diferentes: -1 pelo eixo
e 0 pela linha
.
Como os limites dependem do caminho escolhido, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe, pois os valores dependem do caminho de aproximação.
Exercícios relacionados
Sejam os pontos
e
.
Determine de tal maneira que A, B e D forme um triangulo retangulo, com angulo reto em A .
Determine
Probar que los siguientes límites no existen: