Sejam os pontos A = (-1, -2), B = (-3, -1), C = (-5, -3) e D = (0, b).
Determine b de tal maneira que A, B e D forme um triangulo retangulo, com angulo reto em A .

Passo 1

Então, a gente tem quatro pontos no plano: , , e . O objetivo é encontrar o valor de de forma que os pontos , e formem um triângulo retângulo, com o ângulo reto em . Para resolver isso, vamos usar a geometria analítica, especificamente a fórmula da distância entre pontos e o teorema de Pitágoras para identificar o ângulo reto.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as distâncias entre os pontos e , e , e e . A fórmula da distância entre dois pontos e é:

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para encontrar as distâncias:
  1. Distância entre e ( ):
  1. Distância entre e ( ):
  1. Distância entre e ( ):

Passo 4

Como o triângulo deve ser retângulo em , isso significa que os lados e são os catetos, e é a hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras:
Vamos substituir as distâncias que calculamos:

Passo 5

Simplificando as equações:
Vamos expandir os termos quadráticos:
Somando os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Subtraindo de ambos os lados:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

O valor de que faz com que os pontos , e formem um triângulo retângulo com o ângulo reto em é .

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