Problem 7.33 An infinite cylinder of radius R carries a uniform surface charge sigma. We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity omegaf. How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of dotomega, ddotomega, and s (the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length w=integral N d phi.
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um cilindro infinito de raio R que possui uma carga superficial uniforme sigma. Queremos colocar esse cilindro para girar em torno do seu eixo com uma velocidade angular final omegaf. A pergunta é: quanto trabalho precisamos fazer por unidade de comprimento para realizar essa rotação? Existem duas maneiras de resolver esse problema, e depois vamos comparar as respostas.
Conteúdo envolvido: Eletromagnetismo, campos magnéticos e elétricos gerados por cargas em movimento, trabalho realizado por torques, energia armazenada em campos magnéticos.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre campos elétricos e magnéticos devido a distribuições de carga em movimento, relação entre torque e trabalho, e energia em campos magnéticos. Também usaremos fórmulas matemáticas em LaTeX para melhor representação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício, que envolve encontrar os campos magnéticos e elétricos induzidos, calcular o torque necessário e, a partir daí, determinar o trabalho realizado por unidade de comprimento.
Teoria aplicável: Quando uma carga se move, ela cria um campo magnético. Se a carga está em rotação, haverá uma corrente eficaz que gera esse campo magnético. Além disso, mudanças na rotação podem induzir um campo elétrico. O trabalho realizado para girar o cilindro está relacionado ao torque aplicado e à rotação.

Passo 3

Encontrando o campo magnético:
Vamos considerar um cilindro girando com velocidade angular omega. A carga superficial sigma em rotação cria uma corrente superficial. A densidade de corrente superficial K é dada por:
K = sigma cdot v
Onde v é a velocidade tangencial na superfície do cilindro:
v = omega cdot R
Portanto:
K = sigma cdot omega cdot R
Para encontrar o campo magnético B gerado por essa corrente, usamos a lei de Ampère. Para um cilindro infinito, o campo magnético fora do cilindro ( s > R) é dado por:
Bfora = mu0 K R^2s
E dentro do cilindro ( s < R), o campo magnético é:
Bdentro = mu0 K s
Explicação da teoria: A lei de Ampère relaciona o campo magnético a correntes elétricas. No caso de simetria cilíndrica, facilita a integração para encontrar o campo em diferentes regiões.

Passo 4

Calculando o torque:
O torque N necessário para manter a rotação é relacionado ao campo magnético e à corrente. O torque por unidade de comprimento é dado por:
N = integral r times F , dphi
Onde F é a força magnética sobre uma pequena parte da corrente. Usando a relação F = K times B, temos:
N = integral r times (K times B) , dphi
Substituindo os campos magnéticos encontrados anteriormente e integrando sobre o ângulo phi, podemos encontrar o torque total.

Passo 5

Determinando o trabalho realizado:
O trabalho realizado w é o produto do torque N e a variação da velocidade angular omega. Integrando sobre o ângulo phi, obtemos:
w = integral N , dphi
Substituindo o torque encontrado anteriormente, podemos integrar para encontrar o trabalho por unidade de comprimento necessário para girar o cilindro até a velocidade angular final omegaf.

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício, que solicita determinar a energia armazenada no campo magnético resultante.
Teoria aplicável: A energia armazenada em um campo magnético é dada pela integral:
U = 12mu0 integral B^2 , dV
Onde B é o campo magnético e a integral é realizada sobre todo o volume onde o campo está presente.

Passo 7

Calculando a energia armazenada no campo magnético:
Primeiro, usamos os campos magnéticos que calculamos na parte a). Dividimos a integração em duas regiões: dentro do cilindro ( s < R) e fora do cilindro ( s > R).
Dentro do cilindro:
Udentro = 12mu0 integral0^R (mu0 K s)^2 cdot 2pi s , ds
Fora do cilindro:
Ufora = 12mu0 integralR^infty ( mu0 K R^2s )^2 cdot 2pi s , ds
Calculando essas integrais, obtemos a energia total armazenada no campo magnético.

Passo 8

Comparando as respostas:
Após calcular o trabalho realizado na parte a) e a energia armazenada na parte b), verificamos que ambas as abordagens devem resultar no mesmo valor final para o trabalho por unidade de comprimento, confirmando a consistência entre o método do torque e o método da energia de campo magnético.

Resposta

O trabalho realizado por unidade de comprimento para girar o cilindro até a velocidade angular final omegaf é igual à energia armazenada no campo magnético resultante, encontrada por ambas as abordagens apresentadas.

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