Problem 7.33 An infinite cylinder of radius carries a uniform surface charge . We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity . How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of , and (the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length .
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um cilindro infinito de raio que possui uma carga superficial uniforme . Queremos colocar esse cilindro para girar em torno do seu eixo com uma velocidade angular final . A pergunta é: quanto trabalho precisamos fazer por unidade de comprimento para realizar essa rotação? Existem duas maneiras de resolver esse problema, e depois vamos comparar as respostas.
Conteúdo envolvido: Eletromagnetismo, campos magnéticos e elétricos gerados por cargas em movimento, trabalho realizado por torques, energia armazenada em campos magnéticos.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre campos elétricos e magnéticos devido a distribuições de carga em movimento, relação entre torque e trabalho, e energia em campos magnéticos. Também usaremos fórmulas matemáticas em LaTeX para melhor representação.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício, que envolve encontrar os campos magnéticos e elétricos induzidos, calcular o torque necessário e, a partir daí, determinar o trabalho realizado por unidade de comprimento.
Teoria aplicável: Quando uma carga se move, ela cria um campo magnético. Se a carga está em rotação, haverá uma corrente eficaz que gera esse campo magnético. Além disso, mudanças na rotação podem induzir um campo elétrico. O trabalho realizado para girar o cilindro está relacionado ao torque aplicado e à rotação.

Passo 3

Encontrando o campo magnético:
Vamos considerar um cilindro girando com velocidade angular . A carga superficial em rotação cria uma corrente superficial. A densidade de corrente superficial é dada por:
Onde é a velocidade tangencial na superfície do cilindro:
Portanto:
Para encontrar o campo magnético gerado por essa corrente, usamos a lei de Ampère. Para um cilindro infinito, o campo magnético fora do cilindro ( ) é dado por:
E dentro do cilindro ( ), o campo magnético é:
Explicação da teoria: A lei de Ampère relaciona o campo magnético a correntes elétricas. No caso de simetria cilíndrica, facilita a integração para encontrar o campo em diferentes regiões.

Passo 4

Calculando o torque:
O torque necessário para manter a rotação é relacionado ao campo magnético e à corrente. O torque por unidade de comprimento é dado por:
Onde é a força magnética sobre uma pequena parte da corrente. Usando a relação , temos:
Substituindo os campos magnéticos encontrados anteriormente e integrando sobre o ângulo , podemos encontrar o torque total.

Passo 5

Determinando o trabalho realizado:
O trabalho realizado é o produto do torque e a variação da velocidade angular . Integrando sobre o ângulo , obtemos:
Substituindo o torque encontrado anteriormente, podemos integrar para encontrar o trabalho por unidade de comprimento necessário para girar o cilindro até a velocidade angular final .

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício, que solicita determinar a energia armazenada no campo magnético resultante.
Teoria aplicável: A energia armazenada em um campo magnético é dada pela integral:
Onde é o campo magnético e a integral é realizada sobre todo o volume onde o campo está presente.

Passo 7

Calculando a energia armazenada no campo magnético:
Primeiro, usamos os campos magnéticos que calculamos na parte a). Dividimos a integração em duas regiões: dentro do cilindro ( ) e fora do cilindro ( ).
Dentro do cilindro:
Fora do cilindro:
Calculando essas integrais, obtemos a energia total armazenada no campo magnético.

Passo 8

Comparando as respostas:
Após calcular o trabalho realizado na parte a) e a energia armazenada na parte b), verificamos que ambas as abordagens devem resultar no mesmo valor final para o trabalho por unidade de comprimento, confirmando a consistência entre o método do torque e o método da energia de campo magnético.

Resposta

O trabalho realizado por unidade de comprimento para girar o cilindro até a velocidade angular final é igual à energia armazenada no campo magnético resultante, encontrada por ambas as abordagens apresentadas.

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