Problem 7.33 An infinite cylinder of radius
carries a uniform surface charge
. We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity
. How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of
, and
(the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length
.
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Temos um cilindro infinito de raio
que possui uma carga superficial uniforme
. Queremos colocar esse cilindro para girar em torno do seu eixo com uma velocidade angular final
. A pergunta é: quanto trabalho precisamos fazer por unidade de comprimento para realizar essa rotação? Existem duas maneiras de resolver esse problema, e depois vamos comparar as respostas.
Conteúdo envolvido: Eletromagnetismo, campos magnéticos e elétricos gerados por cargas em movimento, trabalho realizado por torques, energia armazenada em campos magnéticos.
O que vamos precisar: Conhecimentos sobre campos elétricos e magnéticos devido a distribuições de carga em movimento, relação entre torque e trabalho, e energia em campos magnéticos. Também usaremos fórmulas matemáticas em LaTeX para melhor representação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a) do exercício, que envolve encontrar os campos magnéticos e elétricos induzidos, calcular o torque necessário e, a partir daí, determinar o trabalho realizado por unidade de comprimento.
Teoria aplicável: Quando uma carga se move, ela cria um campo magnético. Se a carga está em rotação, haverá uma corrente eficaz que gera esse campo magnético. Além disso, mudanças na rotação podem induzir um campo elétrico. O trabalho realizado para girar o cilindro está relacionado ao torque aplicado e à rotação.
Passo 3
Encontrando o campo magnético:
Vamos considerar um cilindro girando com velocidade angular
. A carga superficial
em rotação cria uma corrente superficial. A densidade de corrente superficial
é dada por:
Onde
é a velocidade tangencial na superfície do cilindro:
Portanto:
Para encontrar o campo magnético
gerado por essa corrente, usamos a lei de Ampère. Para um cilindro infinito, o campo magnético fora do cilindro (
) é dado por:
E dentro do cilindro (
), o campo magnético é:
Explicação da teoria: A lei de Ampère relaciona o campo magnético a correntes elétricas. No caso de simetria cilíndrica, facilita a integração para encontrar o campo em diferentes regiões.
Passo 4
Calculando o torque:
O torque
necessário para manter a rotação é relacionado ao campo magnético e à corrente. O torque por unidade de comprimento é dado por:
Onde
é a força magnética sobre uma pequena parte da corrente. Usando a relação
, temos:
Substituindo os campos magnéticos encontrados anteriormente e integrando sobre o ângulo
, podemos encontrar o torque total.
Passo 5
Determinando o trabalho realizado:
O trabalho realizado
é o produto do torque
e a variação da velocidade angular
. Integrando sobre o ângulo
, obtemos:
Substituindo o torque encontrado anteriormente, podemos integrar para encontrar o trabalho por unidade de comprimento necessário para girar o cilindro até a velocidade angular final
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício, que solicita determinar a energia armazenada no campo magnético resultante.
Teoria aplicável: A energia armazenada em um campo magnético é dada pela integral:
Onde
é o campo magnético e a integral é realizada sobre todo o volume onde o campo está presente.
Passo 7
Calculando a energia armazenada no campo magnético:
Primeiro, usamos os campos magnéticos que calculamos na parte a). Dividimos a integração em duas regiões: dentro do cilindro (
) e fora do cilindro (
).
Dentro do cilindro:
Fora do cilindro:
Calculando essas integrais, obtemos a energia total armazenada no campo magnético.
Passo 8
Comparando as respostas:
Após calcular o trabalho realizado na parte a) e a energia armazenada na parte b), verificamos que ambas as abordagens devem resultar no mesmo valor final para o trabalho por unidade de comprimento, confirmando a consistência entre o método do torque e o método da energia de campo magnético.
Resposta
O trabalho realizado por unidade de comprimento para girar o cilindro até a velocidade angular final
é igual à energia armazenada no campo magnético resultante, encontrada por ambas as abordagens apresentadas.
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b) Use Ampere
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