Problem 7.12. A long solenoid, of radius
, is driven by an alternating current, so that the field inside is sinusoidal:
. A circular loop of wire, of radius
and resistance
, is placed inside the solenoid, and coaxial with it. Find the current induced in the loop, as a function of time.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre indução eletromagnética, especificamente sobre como um campo magnético que varia com o tempo dentro de um solenóide gera uma corrente em um laço de fio colocado dentro dele. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Ohm. Vamos calcular o fluxo magnético, a fem induzida e, por fim, a corrente resultante no laço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as áreas envolvidas. O solenóide tem um raio
, e o laço de fio tem um raio
. A área
de um círculo é dada por:
Então, a área do laço é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo magnético
que passa pelo laço. O fluxo magnético é o produto do campo magnético
pela área
e pelo cosseno do ângulo entre eles. Como o campo está na direção
e o laço também é coaxial com o solenóide, o ângulo é 0 e
. Então:
Passo 4
A Lei de Faraday nos diz que a fem induzida
no laço é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético:
Vamos derivar
com relação ao tempo:
Portanto, a fem induzida é:
Passo 5
Agora, usamos a Lei de Ohm para encontrar a corrente
no laço. A Lei de Ohm relaciona a fem
, a resistência
e a corrente:
Isolando
:
Podemos simplificar ignorando o sinal negativo, já que ele indica a direção da corrente segundo a Lei de Lenz.
Resposta
A corrente induzida no laço, em função do tempo, é dada por: