Problem 7.12. A long solenoid, of radius
, is driven by an alternating current, so that the field inside is sinusoidal:
. A circular loop of wire, of radius
and resistance
, is placed inside the solenoid, and coaxial with it. Find the current induced in the loop, as a function of time.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre indução eletromagnética, especificamente sobre como um campo magnético que varia com o tempo dentro de um solenóide gera uma corrente em um laço de fio colocado dentro dele. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Ohm. Vamos calcular o fluxo magnético, a fem induzida e, por fim, a corrente resultante no laço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as áreas envolvidas. O solenóide tem um raio
, e o laço de fio tem um raio
. A área
de um círculo é dada por:
Então, a área do laço é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o fluxo magnético
que passa pelo laço. O fluxo magnético é o produto do campo magnético
pela área
e pelo cosseno do ângulo entre eles. Como o campo está na direção
e o laço também é coaxial com o solenóide, o ângulo é 0 e
. Então:
Passo 4
A Lei de Faraday nos diz que a fem induzida
no laço é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético:
Vamos derivar
com relação ao tempo:
Portanto, a fem induzida é:
Passo 5
Agora, usamos a Lei de Ohm para encontrar a corrente
no laço. A Lei de Ohm relaciona a fem
, a resistência
e a corrente:
Isolando
:
Podemos simplificar ignorando o sinal negativo, já que ele indica a direção da corrente segundo a Lei de Lenz.
Resposta
A corrente induzida no laço, em função do tempo, é dada por:
Exercícios relacionados
Problem 7.33 An infinite cylinder of radius
carries a uniform surface charge
. We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity
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a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of , and
(the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length
.
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
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. A tubulação então se estreita para um diâmetro de 5 cm . Calcule a velocidade da água na seção mais estreita e a vazão volumétrica no cano.
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passes through a resistanceless loop of wire with self-inductance
. What current is induced in the loop?