Problem 7.12. A long solenoid, of radius a, is driven by an alternating current, so that the field inside is sinusoidal: B(t)=B0 sen(w t) z. A circular loop of wire, of radius a / 2 and resistance R, is placed inside the solenoid, and coaxial with it. Find the current induced in the loop, as a function of time.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre indução eletromagnética, especificamente sobre como um campo magnético que varia com o tempo dentro de um solenóide gera uma corrente em um laço de fio colocado dentro dele. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Ohm. Vamos calcular o fluxo magnético, a fem induzida e, por fim, a corrente resultante no laço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as áreas envolvidas. O solenóide tem um raio A = pi r^2 , e o laço de fio tem um raio Alaço = pi (a2)^2 = pi a^24 . A área de um círculo é dada por:
Então, a área do laço é:
ç

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético Phi(t) = B(t) cdot Alaço = B0 sin(omega t) cdot pi a^24 que passa pelo laço. O fluxo magnético é o produto do campo magnético pela área e pelo cosseno do ângulo entre eles. Como o campo está na direção e o laço também é coaxial com o solenóide, o ângulo é 0 e . Então:
ç

Passo 4

A Lei de Faraday nos diz que a fem induzida E = -dPhidt no laço é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético:
dPhidt = B0 omega cos(omega t) cdot pi a^24
Vamos derivar E = -B0 omega cos(omega t) cdot pi a^24 com relação ao tempo:
Portanto, a fem induzida é:

Passo 5

Agora, usamos a Lei de Ohm para encontrar a corrente E = I(t) cdot R no laço. A Lei de Ohm relaciona a fem I(t) = ER = -B0 omega cos(omega t) cdot pi a^24R = -pi B0 a^2 omega4R cos(omega t) , a resistência e a corrente:
Isolando :
Podemos simplificar ignorando o sinal negativo, já que ele indica a direção da corrente segundo a Lei de Lenz.

Resposta

A corrente induzida no laço, em função do tempo, é dada por:
I(t) = pi B0 a^2 omega4R cos(omega t)

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