Problem 7.12. A long solenoid, of radius , is driven by an alternating current, so that the field inside is sinusoidal: . A circular loop of wire, of radius and resistance , is placed inside the solenoid, and coaxial with it. Find the current induced in the loop, as a function of time.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre indução eletromagnética, especificamente sobre como um campo magnético que varia com o tempo dentro de um solenóide gera uma corrente em um laço de fio colocado dentro dele. Para resolver isso, vamos precisar usar a Lei de Faraday da Indução Eletromagnética e a Lei de Ohm. Vamos calcular o fluxo magnético, a fem induzida e, por fim, a corrente resultante no laço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as áreas envolvidas. O solenóide tem um raio , e o laço de fio tem um raio . A área de um círculo é dada por:
Então, a área do laço é:
ç

Passo 3

Agora, vamos calcular o fluxo magnético que passa pelo laço. O fluxo magnético é o produto do campo magnético pela área e pelo cosseno do ângulo entre eles. Como o campo está na direção e o laço também é coaxial com o solenóide, o ângulo é 0 e . Então:
ç

Passo 4

A Lei de Faraday nos diz que a fem induzida no laço é igual à taxa de variação negativa do fluxo magnético:
Vamos derivar com relação ao tempo:
Portanto, a fem induzida é:

Passo 5

Agora, usamos a Lei de Ohm para encontrar a corrente no laço. A Lei de Ohm relaciona a fem , a resistência e a corrente:
Isolando :
Podemos simplificar ignorando o sinal negativo, já que ele indica a direção da corrente segundo a Lei de Lenz.

Resposta

A corrente induzida no laço, em função do tempo, é dada por:

Exercícios relacionados

Problem 7.33 An infinite cylinder of radius carries a uniform surface charge . We propose to set it spinning about its axis, at a final angular velocity . How much work will this take, per unit length? Do it two ways, and compare your answers:
a) Find the magnetic field and the induced electric field (in the quasistatic approximation), inside and outside the cylinder, in terms of , and (the distance from the axis). Calculate the torque you must exert, and from that obtain the work done per unit length .
b) Determine the energy stored in the resulting magnetic field.
Problem 7.13 A square loop of wire, with sides of length , lies in the first quadrant of the plane, with one corner at the origin. In this region, there is a nonuniform time-
dependent magnetic field , (where is a constant). Find the e.m.f. induced in the loop.
Numa tubulação horizontal com um diâmetro de 10 cm está ocorrendo um escoamento estacionário de água a uma velocidade de . A tubulação então se estreita para um diâmetro de 5 cm . Calcule a velocidade da água na seção mais estreita e a vazão volumétrica no cano.
Problem 7.39 Suppose a magnetic monopole passes through a resistanceless loop of wire with self-inductance . What current is induced in the loop?