Verifique se os pontos dados em cada item abaixo são coplanares.
(a)
(b)
© .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se determinados conjuntos de quatro pontos no espaço são coplanares. Coplanares significa que os quatro pontos estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial. Precisaremos calcular vetores a partir dos pontos dados e usar o produto misto para verificar a coplanaridade.

Passo 2

Item (a): , , ,

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem do ponto para os outros três pontos:
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor
Agora, calculamos o produto vetorial de e :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, .
Agora, calculamos o produto escalar de com esse resultado:
Como o produto misto não é zero ( ), os pontos não são coplanares.

Passo 3

Item (b): , , ,

Vamos seguir o mesmo processo. Primeiro, encontramos os vetores a partir de :
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor
Calculamos o produto vetorial de e :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, .
Agora, o produto escalar de com este vetor:
Como o produto misto não é zero ( ), os pontos não são coplanares.

Passo 4

Item ©: , , ,

Vamos calcular os vetores a partir de :
  • Vetor
  • Vetor
  • Vetor
Calculamos o produto vetorial de e :
Calculando cada componente:
  • Componente :
  • Componente :
  • Componente :
Então, .
Agora, o produto escalar de com este vetor:
Como o produto misto não é zero ( ), os pontos não são coplanares.

Resposta

Nenhum dos conjuntos de pontos nos itens (a), (b) e © é coplanar.

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(a)
(b)
©
(d)
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