Verifique se os pontos dados em cada item abaixo são coplanares.
(a) A=(4,0,-1), B=(1,1,1), C=(-1,1,-4), D=(2,1,3)
(b) A=(2,2,1), B=(3,1,2), C=(2,3,0), D=(2,3,2)
© A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1), D=(10,-2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se determinados conjuntos de quatro pontos no espaço são coplanares. Coplanares significa que os quatro pontos estão todos no mesmo plano. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria vetorial. Precisaremos calcular vetores a partir dos pontos dados e usar o produto misto para verificar a coplanaridade.

Passo 2

Item (a): A=(4,0,-1), B=(1,1,1), C=(-1,1,-4), D=(2,1,3)

Primeiro, vamos encontrar os vetores que partem do ponto A para os outros três pontos:
  • Vetor AB = B - A = (1-4, 1-0, 1-(-1)) = (-3, 1, 2)
  • Vetor AC = C - A = (-1-4, 1-0, -4-(-1)) = (-5, 1, -3)
  • Vetor AD = D - A = (2-4, 1-0, 3-(-1)) = (-2, 1, 4)
Agora, calculamos o produto vetorial de AC e AD:
AC times AD = i & j & k -5 & 1 & -3 -2 & 1 & 4 = i(1 cdot 4 - (-3) cdot 1) - j(-5 cdot 4 - (-3) cdot (-2)) + k(-5 cdot 1 - 1 cdot (-2))
Calculando cada componente:
  • Componente i: 4 + 3 = 7
  • Componente j: -20 - 6 = -26
  • Componente k: -5 + 2 = -3
Então, AC times AD = (7, -26, -3).
Agora, calculamos o produto escalar de AB com esse resultado:
AB cdot (AC times AD) = (-3)(7) + (1)(-26) + (2)(-3) = -21 -26 -6 = -53
Como o produto misto não é zero ( -53 neq 0), os pontos não são coplanares.

Passo 3

Item (b): A=(2,2,1), B=(3,1,2), C=(2,3,0), D=(2,3,2)

Vamos seguir o mesmo processo. Primeiro, encontramos os vetores a partir de A:
  • Vetor AB = B - A = (3-2, 1-2, 2-1) = (1, -1, 1)
  • Vetor AC = C - A = (2-2, 3-2, 0-1) = (0, 1, -1)
  • Vetor AD = D - A = (2-2, 3-2, 2-1) = (0, 1, 1)
Calculamos o produto vetorial de AC e AD:
AC times AD = i & j & k 0 & 1 & -1 0 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - (-1) cdot 1) - j(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 0)
Calculando cada componente:
  • Componente i: 1 + 1 = 2
  • Componente j: 0 - 0 = 0
  • Componente k: 0 - 0 = 0
Então, AC times AD = (2, 0, 0).
Agora, o produto escalar de AB com este vetor:
AB cdot (AC times AD) = (1)(2) + (-1)(0) + (1)(0) = 2 + 0 + 0 = 2
Como o produto misto não é zero ( 2 neq 0), os pontos não são coplanares.

Passo 4

Item ©: A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1), D=(10,-2,1)

Vamos calcular os vetores a partir de A:
  • Vetor AB = B - A = (3-2, 2-0, 0-2) = (1, 2, -2)
  • Vetor AC = C - A = (0-2, 2-0, 1-2) = (-2, 2, -1)
  • Vetor AD = D - A = (10-2, -2-0, 1-2) = (8, -2, -1)
Calculamos o produto vetorial de AC e AD:
AC times AD = i & j & k -2 & 2 & -1 8 & -2 & -1 = i(2 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) - j(-2 cdot (-1) - (-1) cdot 8) + k(-2 cdot (-2) - 2 cdot 8)
Calculando cada componente:
  • Componente i: -2 - 2 = -4
  • Componente j: 2 - (-8) = 10
  • Componente k: 4 - 16 = -12
Então, AC times AD = (-4, 10, -12).
Agora, o produto escalar de AB com este vetor:
AB cdot (AC times AD) = (1)(-4) + (2)(10) + (-2)(-12) = -4 + 20 + 24 = 40
Como o produto misto não é zero ( 40 neq 0), os pontos não são coplanares.

Resposta

Nenhum dos conjuntos de pontos nos itens (a), (b) e © é coplanar.

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