No problema anterior, a) calcule a variação da entropia em cada etapa do ciclo. b) Mostre que a variação total da entropia é nula quando completa-se o ciclo adicionando o processo entre os pontos 1 e 3 a volume constante. (1,0) Todas as respostas neste problema devem ser escritas substituindo as temperaturas em função de p0 e V0 !

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que está rolando aqui é que temos um ciclo termodinâmico dividido em etapas, e a gente precisa calcular a variação da entropia em cada uma dessas etapas. Depois, mostrar que, quando completamos todo o ciclo adicionando um processo que vai de 1 a 3 mantendo o volume constante, a variação total da entropia dá zero. A matéria envolvida aqui é termodinâmica, especificamente sobre ciclos termodinâmicos e entropia. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a variação da entropia em processos diferentes e entender como funciona um ciclo completo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é entropia. Entropia é uma medida da desordem ou da quantidade de informação no sistema. Em processos reversíveis, a variação da entropia pode ser calculada usando a fórmula:
De
Aqui, é o calor trocado de forma reversível e é a temperatura.

Passo 3

Agora, vamos olhar para cada etapa do ciclo. Suponhamos que o ciclo tenha três processos: 1 a 2, 2 a 3 e 3 a 1 (ou 1 a 3). Precisamos calcular a variação da entropia em cada uma dessas etapas.

Passo 4

Etapa 1 a 2: Expansão ou Compressão Isotérmica
Se esse processo for isotérmico (temperatura constante), a variação da entropia é:
De
Vamos expressar o calor Q1-2 = nRT ln(V2V1) em termos de T = p0 V0nR e De. Para um gás ideal em processo isotérmico:
Mas precisamos substituir em função de e . Sabemos que , então:
Substituindo na equação de :

Passo 5

Etapa 2 a 3: Processo Adiabático
Em um processo adiabático, não há troca de calor ( De), então a variação da entropia é:
De
Isso porque:

Passo 6

Etapa 3 a 1: Processo a Volume Constante
Neste processo, o volume não muda ( De). A variação da entropia é:
T1 = p0 V0nR, T3 = p0 V0nR
Aqui, T3 = T1 é a capacidade calorífica a volume constante. Precisamos expressar as temperaturas em função de De e :
Como é constante e e relacionam-se pela equação dos gases ideais, se o volume é constante:
Então:

Passo 7

Variação Total da Entropia no Ciclo
Agora, somamos as variações de entropia de todas as etapas:
De
Substituindo os valores que calculamos:
De
Para que a variação total da entropia seja nula:
nR ln(V2V1) = 0 implies ln(V2V1) = 0 implies V2V1 = 1 implies V2 = V1
Isso mostra que, ao completar o ciclo adicionando o processo a volume constante, a variação total da entropia é nula.

Resposta

A variação total da entropia no ciclo é zero quando adicionamos o processo de volume constante, completando o ciclo.

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