Problema - Para cada um dos exercícios de (6) a (8), encontre as regras a partir dos elementos dados das sequências
7)
.
7)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números:
. O conteúdo aqui é sobre sequências numéricas e como identificar a regra geral que gera esses termos. Para resolver, vamos precisar entender como os números estão crescendo ou diminuindo e procurar uma fórmula que descreva essa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da sequência:
. Observando os denominadores, vemos que eles são
, que parecem familiares. Esses números são os fatores fatoriais, ou seja,
,
,
,
,
,
, e assim por diante.
Passo 3
Sabendo que os denominadores são fatoriais, podemos pensar na fórmula geral da sequência. A ideia é que cada termo
é igual a
dividido pelo fatorial de
. Então, a fórmula fica:
Aqui,
representa o fatorial de
, que é o produto de todos os números inteiros de
até
.
Passo 4
Vamos verificar se essa fórmula funciona para os termos dados:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - E assim por diante.
Viu só? A fórmula está funcionando perfeitamente para todos os termos da sequência.
Resposta
A regra geral da sequência é
.
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, e com a condição inicial
;
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, então, necessariamente
. Dica: escreva a definição para
com
e
. Faça o mesmo para
Tome
e
, já que sua escolha é arbitrária e construa o argumento…
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