Problema - Para cada um dos exercícios de (6) a (8), encontre as regras a partir dos elementos dados das sequências
7) x_k = (1, 1, 1/2, 1/6, 1/24, 1/120, ...).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números: . O conteúdo aqui é sobre sequências numéricas e como identificar a regra geral que gera esses termos. Para resolver, vamos precisar entender como os números estão crescendo ou diminuindo e procurar uma fórmula que descreva essa sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da sequência: . Observando os denominadores, vemos que eles são , que parecem familiares. Esses números são os fatores fatoriais, ou seja, , , , , , , e assim por diante.

Passo 3

Sabendo que os denominadores são fatoriais, podemos pensar na fórmula geral da sequência. A ideia é que cada termo é igual a dividido pelo fatorial de . Então, a fórmula fica:
Aqui, representa o fatorial de , que é o produto de todos os números inteiros de até .

Passo 4

Vamos verificar se essa fórmula funciona para os termos dados:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante.
Viu só? A fórmula está funcionando perfeitamente para todos os termos da sequência.

Resposta

A regra geral da sequência é .

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