Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(b) Uma barra com densidade tendo que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de uma barra cuja densidade varia conforme no intervalo de a . O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente para encontrar a massa total e o centro de massa da barra. Para isso, vamos precisar usar integrais definidas para calcular a massa e a posição média ponderada para o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total da barra. A massa ( ) pode ser encontrada integrando a densidade ao longo do comprimento da barra. A fórmula é:
Vamos resolver essa integral.

Passo 3

A integral de é . Então:
Portanto, a massa total da barra é unidades de massa.

Passo 4

Agora, vamos calcular o centro de massa ( ). A fórmula para o centro de massa é:
Precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver , usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Aplicando os limites de a :

Passo 6

Agora, voltando à fórmula do centro de massa:
Portanto, o centro de massa da barra está na posição .

Resposta

A massa total da barra é unidades de massa e o centro de massa está localizado na posição .

Exercícios relacionados

Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(a) Pontos e com respectivas massas , e .
Um cilindro metálico de de comprimento e uma área de cada base. Se uma das bases está em contato com o piso, que pressão exerce o cilindro sobre o solo?
Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
© Pontos e com respectivas massas e .
Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(d) De um retângulo e e densidade dada por .