Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(b) Uma barra com densidade rho(x)=sin (x) tendo que 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de uma barra cuja densidade varia conforme rho(x) = sin(x) no intervalo de 0 a pi. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente para encontrar a massa total e o centro de massa da barra. Para isso, vamos precisar usar integrais definidas para calcular a massa e a posição média ponderada para o centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa total da barra. A massa ( M) pode ser encontrada integrando a densidade ao longo do comprimento da barra. A fórmula é:
M = integral0^pi rho(x) , dx = integral0^pi sin(x) , dx
Vamos resolver essa integral.

Passo 3

A integral de sin(x) é -cos(x). Então:
M = [-cos(x)]0^pi = -cos(pi) + cos(0) = -(-1) + 1 = 1 + 1 = 2
Portanto, a massa total da barra é 2 unidades de massa.

Passo 4

Agora, vamos calcular o centro de massa ( barx). A fórmula para o centro de massa é:
barx = 1M integral0^pi x rho(x) , dx = 12 integral0^pi x sin(x) , dx
Precisamos resolver essa integral.

Passo 5

Para resolver integral x sin(x) , dx, usamos integração por partes, onde:
u = x Rightarrow du = dx dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)
Aplicando a fórmula de integração por partes ( integral u , dv = uv - integral v , du):
integral x sin(x) , dx = -x cos(x) + integral cos(x) , dx = -x cos(x) + sin(x) + C
Aplicando os limites de 0 a pi:
[-x cos(x) + sin(x)]0^pi = [ -pi cos(pi) + sin(pi) ] - [ -0 cos(0) + sin(0) ] = -pi (-1) + 0 - (0 + 0) = pi

Passo 6

Agora, voltando à fórmula do centro de massa:
barx = 12 times pi = pi2
Portanto, o centro de massa da barra está na posição pi2.

Resposta

A massa total da barra é 2 unidades de massa e o centro de massa está localizado na posição pi2.

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