Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(b) Uma barra com densidade
tendo que
.
(b) Uma barra com densidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de uma barra cuja densidade varia conforme
no intervalo de
a
. O conteúdo aqui envolve cálculo integral, especificamente para encontrar a massa total e o centro de massa da barra. Para isso, vamos precisar usar integrais definidas para calcular a massa e a posição média ponderada para o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa total da barra. A massa (
) pode ser encontrada integrando a densidade ao longo do comprimento da barra. A fórmula é:
Vamos resolver essa integral.
Passo 3
A integral de
é
. Então:
Portanto, a massa total da barra é
unidades de massa.
Passo 4
Agora, vamos calcular o centro de massa (
). A fórmula para o centro de massa é:
Precisamos resolver essa integral.
Passo 5
Para resolver
, usamos integração por partes, onde:
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Agora, voltando à fórmula do centro de massa:
Portanto, o centro de massa da barra está na posição
.
Resposta
A massa total da barra é
unidades de massa e o centro de massa está localizado na posição
.
Exercícios relacionados
Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(a) Pontos e
com respectivas massas
,
e
.
(a) Pontos
Um cilindro metálico de
de comprimento e uma área de
cada base. Se uma das bases está em contato com o piso, que pressão exerce o cilindro sobre o solo?
Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
© Pontos e
com respectivas massas
e
.
© Pontos
Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(d) De um retângulo e
e densidade dada por
.
(d) De um retângulo