Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(d) De um retângulo e e densidade dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde precisamos encontrar a massa e o centro de massa de um retângulo limitado por e , com uma densidade que varia conforme . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular propriedades como massa e centro de massa de regiões bidimensionais com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do retângulo. A massa é obtida integrando a função densidade sobre toda a área da figura. A fórmula para a massa é:
Como nosso retângulo vai de a e de a , nossos limites de integração serão esses.
Passo 3
Agora, vamos substituir a densidade na fórmula da massa e calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a M = 4^42 + 4 cdot 4 = 2562 + 16 = 128 + 16 = 144 :
Substituindo :
Então, a massa do retângulo é 144 unidades de massa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o centro de massa, que tem coordenadas x = 1M integral dupla x rho(x, y) , dx , dy . As fórmulas são:
y = 1M integral dupla y rho(x, y) , dx , dy
Vamos calcular primeiro.
Passo 5
Substituindo a densidade na fórmula de x = 1144 integral0^4 integral0^2 x(x^3 + y^3) , dy , dx = 1144 integral0^4 integral0^2 (x^4 + x y^3) , dy , dx :
integral0^2 (x^4 + x y^3) , dy = x^4 cdot y + x cdot y^44 |0^2 = x^4 cdot 2 + x cdot 164 = 2x^4 + 4x