Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(d) De um retângulo e e densidade dada por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema onde precisamos encontrar a massa e o centro de massa de um retângulo limitado por e , com uma densidade que varia conforme . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular propriedades como massa e centro de massa de regiões bidimensionais com densidade variável.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a massa do retângulo. A massa é obtida integrando a função densidade sobre toda a área da figura. A fórmula para a massa é:
Como nosso retângulo vai de a e de a , nossos limites de integração serão esses.
Passo 3
Agora, vamos substituir a densidade na fórmula da massa e calcular a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos o resultado em relação a :
Substituindo :
Então, a massa do retângulo é 144 unidades de massa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o centro de massa, que tem coordenadas . As fórmulas são:
Vamos calcular primeiro.
Passo 5
Substituindo a densidade na fórmula de :
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Então,
Fazendo um arredondamento, .
Agora, vamos calcular :
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Substituindo :
Então,
Arredondando, .
Resposta
A massa do retângulo é 144 unidades de massa, e o centro de massa está localizado nas coordenadas .