Problema 1 Calcule a massa e o centro de massa dos itens:
(d) De um retângulo 0 e 0 e densidade dada por rho(x, y)=x^3+y^3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema onde precisamos encontrar a massa e o centro de massa de um retângulo limitado por e , com uma densidade que varia conforme . Isso está relacionado ao estudo de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas, que nos permitem calcular propriedades como massa e centro de massa de regiões bidimensionais com densidade variável.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a massa do retângulo. A massa é obtida integrando a função densidade sobre toda a área da figura. A fórmula para a massa M = integral dupla rho(x, y) , dx , dy é:
Como nosso retângulo vai de a e de a , nossos limites de integração serão esses.

Passo 3

Agora, vamos substituir a densidade na fórmula da massa e calcular a integral:
M = integral0^4 integral0^2 (x^3 + y^3) , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integral0^2 (x^3 + y^3) , dy = x^3 cdot y + y^44 |0^2 = x^3 cdot 2 + 164 - 0 = 2x^3 + 4 :
M = integral0^4 (2x^3 + 4) , dx = 2x^44 + 4x |0^4 = x^42 + 4x |0^4
Agora, integramos o resultado em relação a M = 4^42 + 4 cdot 4 = 2562 + 16 = 128 + 16 = 144 :
Substituindo :
Então, a massa do retângulo é 144 unidades de massa.

Passo 4

Agora, vamos encontrar o centro de massa, que tem coordenadas x = 1M integral dupla x rho(x, y) , dx , dy . As fórmulas são:
y = 1M integral dupla y rho(x, y) , dx , dy
Vamos calcular primeiro.

Passo 5

Substituindo a densidade na fórmula de x = 1144 integral0^4 integral0^2 x(x^3 + y^3) , dy , dx = 1144 integral0^4 integral0^2 (x^4 + x y^3) , dy , dx :
integral0^2 (x^4 + x y^3) , dy = x^4 cdot y + x cdot y^44 |0^2 = x^4 cdot 2 + x cdot 164 = 2x^4 + 4x
Integramos em relação a integral0^4 (2x^4 + 4x) , dx = 2x^55 + 2x^2 |0^4 = 2 cdot 10245 + 2 cdot 16 = 20485 + 32 = 2048 + 1605 = 22085 = 441.6 :
x = 441.6144 = 3.0666
Agora, integramos em relação a y = 1144 integral0^4 integral0^2 y(x^3 + y^3) , dy , dx :
integral0^2 y(x^3 + y^3) , dy = x^3 cdot y^22 + y^55 |0^2 = x^3 cdot 42 + 325 = 2x^3 + 325
Então,
integral0^4 (2x^3 + 325) , dx = 2x^44 + 325x |0^4 = x^42 + 325x |0^4
Fazendo um arredondamento, 2562 + 1285 = 128 + 25.6 = 153.6 .
Agora, vamos calcular y = 153.6144 = 1.0666 :
Integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Substituindo :
Então,
Arredondando, .

Resposta

A massa do retângulo é 144 unidades de massa, e o centro de massa está localizado nas coordenadas .

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